Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe C^{2}. Calcule g_{u} e g_{v} em função de f_{x} e f_{y} nos seguintes casos:
g(u, v)=f\left(e^{u^{2}}, \ln (u+v)\right)

Passo 1

O enunciado define a função
g(u,v)=f\bigl(e^{u^{2}},\ln(u+v)\bigr)
e pede as derivadas parciais \,g_{u} e \,g_{v}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Introduzimos as variáveis intermediárias
x(u,v)=e^{u^{2}}
e
y(u,v)=\ln(u+v).
Então g(u,v)=f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de x e y:
x_{u}=\frac{\partial}{\partial u}e^{u^{2}}=2u\,e^{u^{2}}, \quad x_{v}=0,
y_{u}=\frac{\partial}{\partial u}\ln(u+v)=\frac{1}{u+v}, \quad y_{v}=\frac{\partial}{\partial v}\ln(u+v)=\frac{1}{u+v}.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para obter
g_{u} =f_{x}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,x_{u} +f_{y}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,y_{u}.
Substituindo x e y e suas derivadas, vem
g_{u}(u,v) =2u\,e^{u^{2}}\;f_{x}\bigl(e^{u^{2}},\ln(u+v)\bigr) +\frac{1}{u+v}\;f_{y}\bigl(e^{u^{2}},\ln(u+v)\bigr).

Passo 5

De modo análogo, para g_{v} temos
g_{v} =f_{x}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,x_{v} +f_{y}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,y_{v}.
Como x_{v}=0, disso resulta
g_{v}(u,v) =\frac{1}{u+v}\;f_{y}\bigl(e^{u^{2}},\ln(u+v)\bigr).

Resposta

g_{u}(u,v) =2u\,e^{u^{2}}\;f_{x}\bigl(e^{u^{2}},\ln(u+v)\bigr) +\frac{1}{u+v}\;f_{y}\bigl(e^{u^{2}},\ln(u+v)\bigr),
g_{v}(u,v) =\frac{1}{u+v}\;f_{y}\bigl(e^{u^{2}},\ln(u+v)\bigr).

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