Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: f(x+\\ y)=f(x) f(y) \forall x, y \in \mathbb{R}.
Se f for diferenciável, então f(x)=c \exp (a x), onde c e a são constantes.

Passo 1

O enunciado dá uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^+ não identicamente nula, diferenciável, que satisfaz
f(x+y)=f(x)\,f(y)\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.
Queremos mostrar que existe constante c e constante a tais que
f(x)=c\exp(a\,x).

Passo 2

Primeiro observe f(0). Da relação funcional com y=0 vem
f(x)=f(x+0)=f(x)\,f(0)\quad\Rightarrow\quad f(0)=1\quad\text{(pois \(f\) não é nula)}.ãé

Passo 3

Como f(x)>0 para todo x, podemos definir
F(x)=\frac{f(x)}{f(0)}=\;f(x),
de modo que F(0)=1 e ainda
F(x+y)=F(x)\,F(y).

Passo 4

Defina a função
g(x)=\ln\bigl(F(x)\bigr).
Como F(x)>0 e F é diferenciável, g é diferenciável. Além disso,
g(x+y)=\ln\bigl(F(x+y)\bigr) =\ln\bigl(F(x)F(y)\bigr) =\ln F(x)+\ln F(y) =g(x)+g(y),
isto é, g satisfaz a equação de Cauchy e é diferenciável.

Passo 5

Da teoria de Cauchy, qualquer solução diferenciável de
g(x+y)=g(x)+g(y)
é da forma
g(x)=a\,x,
onde a=g'(0) é constante.

Passo 6

Logo
F(x)=\exp\bigl(g(x)\bigr)=\exp(a\,x).
Voltando a f, como F(x)=f(x) e f(0)=1, temos
f(x)=1\cdot\exp(a\,x).
Se quisermos escrever de forma genérica como f(x)=c\exp(a\,x), basta notar que c=f(0).

Resposta

f(x)=c\,\exp(a\,x),
com c=f(0) e a=g'(0).

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