Seja
uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação:
.
Se
for diferenciável, então
, onde
e
são constantes.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma função
não identicamente nula, diferenciável, que satisfaz
Queremos mostrar que existe constante
e constante
tais que
Passo 2
Primeiro observe
. Da relação funcional com
vem
Passo 3
Como
para todo
, podemos definir
de modo que
e ainda
Passo 4
Defina a função
Como
e
é diferenciável,
é diferenciável. Além disso,
isto é,
satisfaz a equação de Cauchy e é diferenciável.
Passo 5
Da teoria de Cauchy, qualquer solução diferenciável de
é da forma
onde
é constante.
Passo 6
Logo
Voltando a
, como
e
, temos
Se quisermos escrever de forma genérica como
, basta notar que
.
Resposta
com
e
.