Sejam f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} contínuas e suponha que g não é identicamente nula e que g não mude de sinal em [a, b]. Mostre que existe c \in[a, b] tal que
\int_{a}^{b} f \cdot g=f\text{(c)} \int_{a}^{b} g
Mostre por que a hipótese de g não mudar de sinal é eseencial para o resultado acima.
Observação: Pode-se interpretar f\text{(c)} como a média ponderada de f com peso g em [a, b]. Note que esse resultado generaliza o Teorema do Valor Médio da Integral, que é o caso em que g é constante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede exatamente isto.
  • Dados: f,g:[a,b]\to\mathbb{R} são contínuas.
  • Hipóteses adicionais: g não é identicamente nula e g não muda de sinal em [a,b].
  • Objetivo: Mostrar que existe c\in[a,b] tal que
\int_{a}^{b} f\cdot g = f\text{(c)}\int_{a}^{b} g.
  • Segundo objetivo: Mostrar por que a hipótese “ g não muda de sinal” é essencial (ou seja, dar razão/contraexemplo quando essa hipótese é removida).

Passo 2

Primeira observação útil sobre o sinal de g.
  • Como g não muda de sinal em [a,b], existem apenas duas possibilidades: ou g(x)\ge 0 para todo x\in[a,b] ou g(x)\le 0 para todo x\in[a,b].
  • Além disso, como g não é identicamente nula e é contínua, existe pelo menos um ponto onde g é estritamente positivo (no caso g\ge0) ou estritamente negativo (no caso g\le0). Dessa forma \int_a^b g\neq 0. Explicando: se g\ge0 e não é identicamente zero então existe x_0 com g(x_0)>0; por continuidade há intervalo onde g>0, logo \int_a^b g>0. Caso g\le0 a integral é <0.
Podemos, sem perda de generalidade, tratar o caso g\ge0. Se g\le0, basta aplicar o mesmo raciocínio a -g (multiplicar por -1 troca os sinais das desigualdades e da integral, e o resultado final segue com o mesmo c).

Passo 3

Usar que f atinge máximo e mínimo no intervalo.
  • Como f é contínua em [a,b], pelo Teorema do Valor Extremo existe
m=\min_{x\in[a,b]} f(x),\qquad M=\max_{x\in[a,b]} f(x).
  • Isso significa que, para todo x\in[a,b],
m \le f(x) \le M.
Vou explicar por quê isso é útil: esses m e M são números reais fixos com os quais podemos comparar f(x) ponto a ponto; como g tem sinal conhecido (aqui assumimos g\ge0), podemos multiplicar essas desigualdades por g(x) preservando as desigualdades.

Passo 4

Multiplicar as desigualdades por g(x) e integrar (monotonicidade da integral).
  • Para todo x\in[a,b], multiplicando por g(x)\ge0 obtemos
m\,g(x)\le f(x)\,g(x)\le M\,g(x).
  • Como todas as funções envolvidas são contínuas (portanto integráveis), podemos integrar essa tripla desigualdade em [a,b]. A propriedade de monotonicidade da integral diz que se u(x)\le v(x) para todo x então \int u \le \int v. Assim:
m\int_a^b g \le \int_a^b f\,g \le M\int_a^b g.
Explicando passo a passo: multiplicação por g(x)\ge0 preserva desigualdades ponto a ponto; integrar preserve a ordenação; usamos também linearidade da integral implicita na forma dos termos.

Passo 5

Isolar o quociente e aplicar o Teorema do Valor Intermediário para f.
  • Como observamos em

Passo 6

m \le \frac{\int_a^b f\,g}{\int_a^b g} \le M.
  • Isso significa que o número
\lambda := \frac{\int_a^b f\,g}{\int_a^b g}
pertence ao intervalo [m,M].
  • Agora usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para a função f: como f é contínua em [a,b], ela assume todos os valores entre m e M. Em particular, existe c\in[a,b] tal que
f\text{(c)}=\lambda=\frac{\int_a^b f\,g}{\int_a^b g}.
Multiplicando ambos os lados por \int_a^b g obtemos exatamente
\int_a^b f\,g = f\text{(c)}\int_a^b g,
que é a identidade que queríamos demonstrar.

Passo 7

Comentário sobre o caso g\le 0 e sobre interpretação.
  • Se g\le0 para todo x, basta aplicar o mesmo argumento às funções f e -g (que é não negativa e não identicamente zero). O valor de c que surge para -g também funciona para g (porque a igualdade final é invariante ao multiplicar g por -1 em ambos os lados). Assim o argumento cobre ambos os sinais constantes.
  • Interpretação: \lambda=\dfrac{\int_a^b f\,g}{\int_a^b g} é a média ponderada de f com peso g. O resultado diz que a média ponderada é realmente o valor de f em algum ponto do intervalo (uma generalização do Teorema do Valor Médio para integrais, que corresponde a g constante).

Passo 8

Por que a hipótese “ g não muda de sinal” é essencial — contraexemplo.
  • Se g muda de sinal a desigualdade do

Passo 9

  • Contraexemplo explícito: tome a=-1, b=1, f(x)=x e g(x)=x. Então g muda de sinal em [-1,1]. Calcula-se
\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,dx = \int_{-1}^{1} x^2\,dx = \frac{2}{3},
enquanto
\int_{-1}^{1} g(x)\,dx = \int_{-1}^{1} x\,dx = 0.
Se existisse c com \int_{-1}^{1} f g = f\text{(c)}\int_{-1}^{1} g, então teríamos \tfrac{2}{3}=f\text{(c)}\cdot 0=0, absurdo. Logo, para este caso não existe tal c. Isso mostra que sem a hipótese sobre o sinal de g o resultado pode falhar.

Resposta

Existe c\in[a,b] tal que \displaystyle \int_{a}^{b} f\cdot g = f\text{(c)}\int_{a}^{b} g.
A hipótese de que g não muda de sinal é essencial: por exemplo, com f(x)=x,\\ g(x)=x em [-1,1] tem-se \int_{-1}^{1} f g = \tfrac{2}{3} e \int_{-1}^{1} g=0, de modo que não existe c satisfazendo a igualdade acima.

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