Sejam
contínuas e suponha que
não é identicamente nula e que
não mude de sinal em
. Mostre que existe
tal que
Mostre por que a hipótese de
não mudar de sinal é eseencial para o resultado acima.
Observação: Pode-se interpretar
como a média ponderada de
com peso
em
. Note que esse resultado generaliza o Teorema do Valor Médio da Integral, que é o caso em que
é constante.
Observação: Pode-se interpretar
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede exatamente isto.
- Dados:
são contínuas. - Hipóteses adicionais:
não é identicamente nula e não muda de sinal em . - Objetivo: Mostrar que existe
tal que
- Segundo objetivo: Mostrar por que a hipótese “
não muda de sinal” é essencial (ou seja, dar razão/contraexemplo quando essa hipótese é removida).
Passo 2
Primeira observação útil sobre o sinal de
.
- Como
não muda de sinal em , existem apenas duas possibilidades: ou para todo ou para todo . - Além disso, como
não é identicamente nula e é contínua, existe pelo menos um ponto onde é estritamente positivo (no caso ) ou estritamente negativo (no caso ). Dessa forma . Explicando: se e não é identicamente zero então existe com ; por continuidade há intervalo onde , logo . Caso a integral é .
Podemos, sem perda de generalidade, tratar o caso
. Se
, basta aplicar o mesmo raciocínio a
(multiplicar por
troca os sinais das desigualdades e da integral, e o resultado final segue com o mesmo
).
Passo 3
Usar que
atinge máximo e mínimo no intervalo.
- Como
é contínua em , pelo Teorema do Valor Extremo existe
- Isso significa que, para todo
,
Vou explicar por quê isso é útil: esses
e
são números reais fixos com os quais podemos comparar
ponto a ponto; como
tem sinal conhecido (aqui assumimos
), podemos multiplicar essas desigualdades por
preservando as desigualdades.
Passo 4
Multiplicar as desigualdades por
e integrar (monotonicidade da integral).
- Para todo
, multiplicando por obtemos
- Como todas as funções envolvidas são contínuas (portanto integráveis), podemos integrar essa tripla desigualdade em
. A propriedade de monotonicidade da integral diz que se para todo então . Assim:
Explicando passo a passo: multiplicação por
preserva desigualdades ponto a ponto; integrar preserve a ordenação; usamos também linearidade da integral implicita na forma dos termos.
Passo 5
Isolar o quociente e aplicar o Teorema do Valor Intermediário para
.
- Como observamos em
Passo 6
- Isso significa que o número
pertence ao intervalo
.
- Agora usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para a função
: como é contínua em , ela assume todos os valores entre e . Em particular, existe tal que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos exatamente
que é a identidade que queríamos demonstrar.
Passo 7
Comentário sobre o caso
e sobre interpretação.
- Se
para todo , basta aplicar o mesmo argumento às funções e (que é não negativa e não identicamente zero). O valor de que surge para também funciona para (porque a igualdade final é invariante ao multiplicar por em ambos os lados). Assim o argumento cobre ambos os sinais constantes. - Interpretação:
é a média ponderada de com peso . O resultado diz que a média ponderada é realmente o valor de em algum ponto do intervalo (uma generalização do Teorema do Valor Médio para integrais, que corresponde a constante).
Passo 8
Por que a hipótese “
não muda de sinal” é essencial — contraexemplo.
- Se
muda de sinal a desigualdade do
Passo 9
- Contraexemplo explícito: tome
, , e . Então muda de sinal em . Calcula-se
enquanto
Se existisse
com
, então teríamos
, absurdo. Logo, para este caso não existe tal
. Isso mostra que sem a hipótese sobre o sinal de
o resultado pode falhar.
Resposta
Existe
tal que
A hipótese de que
não muda de sinal é essencial: por exemplo, com
em
tem-se
e
, de modo que não existe
satisfazendo a igualdade acima.