Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, onde
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \left(x^{3}+y^{3}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right), \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Calcule f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) em todo o \mathbb{R}^{2}, mostre que tais funções são contínuas em todo o \mathbb{R}^{2} e conclua que f é diferenciável em todo o \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado define a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} por partes e pede:
Calcular as derivadas parciais f_x e f_y em todo \mathbb{R}^2.
Mostrar que f_x e f_y são contínuas em \mathbb{R}^2.
Concluir que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.
Vamos usar as regras de derivação (produto e cadeia) fora da origem e a definição de derivada parcial na origem; em seguida verificamos continuidade e diferenciabilidade.
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) definimos r=\sqrt{x^2+y^2}. Escrevemos