1. Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, onde
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \left(x^{3}+y^{3}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right), \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Calcule f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) em todo o \mathbb{R}^{2}, mostre que tais funções são contínuas em todo o \mathbb{R}^{2} e conclua que f é diferenciável em todo o \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} por partes e pede:
  1. Calcular as derivadas parciais f_x e f_y em todo \mathbb{R}^2.
  2. Mostrar que f_x e f_y são contínuas em \mathbb{R}^2.
  3. Concluir que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.
Vamos usar as regras de derivação (produto e cadeia) fora da origem e a definição de derivada parcial na origem; em seguida verificamos continuidade e diferenciabilidade.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) definimos r=\sqrt{x^2+y^2}. Escrevemos
f(x,y)=g(x,y)\,h(x,y) \quad\text{com}\quad g(x,y)=x^3+y^3, \quad h(x,y)=\sin\bigl(1/r\bigr).
Pelo produto e cadeia,
\frac{\partial g}{\partial x}=3x^2,
\frac{\partial h}{\partial x} =\cos\bigl(1/r\bigr)\,\frac{\partial}{\partial x}(1/r),
e
\frac{\partial}{\partial x}(1/r) =-\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial r}{\partial x} =-\frac{1}{r^2}\cdot\frac{x}{r} =-\frac{x}{r^3}.
Logo
f_x(x,y) =3x^2\sin\bigl(1/r\bigr) +(x^3+y^3)\cos\bigl(1/r\bigr)\Bigl(-\frac{x}{r^3}\Bigr),
o que simplifica para
f_x(x,y) =3x^2\sin\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr) -\frac{x(x^3+y^3)}{r^3}\cos\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr).
De modo análogo,
f_y(x,y) =3y^2\sin\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr) -\frac{y(x^3+y^3)}{r^3}\cos\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr).

Passo 3

Na origem (0,0) usamos a definição de derivada parcial:
f_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^3\sin(1/|h|)}{h} =\lim_{h\to0}h^2\sin(1/|h|) =0.
Analogamente
f_y(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}k^2\sin(1/|k|) =0.

Passo 4

Para verificar que f_x e f_y são contínuas em (0,0), note que, ao levar (x,y)\to(0,0) com r\to0,
\bigl|3x^2\sin(1/r)\bigr|\le3x^2\longrightarrow0,
\Bigl|\tfrac{x(x^3+y^3)}{r^3}\cos(1/r)\Bigr| \le\frac{|x|\bigl(|x|^3+|y|^3\bigr)}{r^3} \le\frac{2|x|\,r^3}{r^3} =2|x|\longrightarrow0.
Logo f_x(x,y)\to0=f_x(0,0). Igual para f_y. Fora da origem, são combinações de funções contínuas, logo f_x e f_y são contínuas em todo \mathbb{R}^2.

Passo 5

Como f_x e f_y existem e são contínuas em \mathbb{R}^2, temos f\in C^1(\mathbb{R}^2). Portanto f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

Para (x,y)\neq(0,0) com r=\sqrt{x^2+y^2}:
f_x(x,y) =3x^2\sin\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr) -\frac{x(x^3+y^3)}{r^3}\cos\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr),
f_y(x,y) =3y^2\sin\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr) -\frac{y(x^3+y^3)}{r^3}\cos\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr).
Em (0,0):
f_x(0,0)=0, \quad f_y(0,0)=0.
Essas derivadas são contínuas em \mathbb{R}^2, logo f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

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