Seja
(a) Calcule:
(b) A reta ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= x^2, & x<=0, -dfrac1x^4, & x>0,
e pede (a) as duas limites laterais em 0 e (b) verificar se a reta x=0 é assíntota vertical. Para isso, vamos usar o cálculo de limites e a definição de assíntota vertical (que ocorre em x=a sempre que limxto a^-f(x)=pminfty ou limxto a^+f(x)=pminfty).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda. Como xto0^- cai na parte x<=0, usamos f(x)=x^2. Logo,
limxto0^-f(x) =limxto0^-x^2 =0^2 =0

Passo 3

Calculamos o limite pela direita. Como xto0^+ cai na parte x>0, usamos f(x)=-1/x^4. Note que x^4to0^+ faz 1/x^4to+infty, então
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(-1x^4r) =-infty

Passo 4

Pela definição, x=0 é assíntota vertical sempre que alguma das duas limites laterais for infinita. Aqui temos
limxto0^+f(x)=-infty,
portanto a reta x=0 é, de fato, uma assíntota vertical para o gráfico de f.

Resposta

(a) limxto0^-f(x)=0 e limxto0^+f(x)=-infty.
(b) Sim, x=0 é assíntota vertical.

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