Seja F: R^4 R^4 o operador linear assim definido na base canônica: F(1,0,0,0)=(3,2,1,0), F(0,1,0,0)=(-1,2,0,4), F(0,0,1,0)=(0,-4,3,8) e F(0,0,0,1)=(1,0,-7,0). Faça o que se pede:
a) Determine F(x, y, z, w) onde (x, y, z, w) é um vetor genérico do R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Álgebra Linear, especificamente lidando com operadores lineares. A gente precisa descobrir como o operador linear age em um vetor genérico do . Para isso, vamos usar a definição de operador linear e as informações que já temos sobre como atua nos vetores da base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador linear tem duas propriedades principais:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades nos permitem determinar a ação de em qualquer vetor do espaço, desde que saibamos como ele age em uma base desse espaço.

Passo 3

No nosso caso, a base canônica de e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1) é composta pelos vetores:
F(e1) = (3, 2, 1, 0)
O exercício nos dá a imagem desses vetores pela aplicação de F(e2) = (-1, 2, 0, 4) :
F(e3) = (0, -4, 3, 8)
F(e4) = (1, 0, -7, 0)

Passo 4

Agora, queremos encontrar (x, y, z, w) = xe1 + ye2 + ze3 + we4 , onde F(x, y, z, w) = xF(e1) + yF(e2) + zF(e3) + wF(e4) é um vetor genérico em . Podemos escrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores da base canônica:
Devido à linearidade de , podemos aplicar a essa combinação linear separadamente:

Passo 5

Vamos substituir as imagens dos vetores da base que já conhecemos:
F(x, y, z, w) = x(3, 2, 1, 0) + y(-1, 2, 0, 4) + z(0, -4, 3, 8) + w(1, 0, -7, 0)

Passo 6

Agora, vamos fazer a multiplicação escalar de cada termo:
x(3, 2, 1, 0) = (3x, 2x, x, 0)
y(-1, 2, 0, 4) = (-y, 2y, 0, 4y)
z(0, -4, 3, 8) = (0, -4z, 3z, 8z)
w(1, 0, -7, 0) = (w, 0, -7w, 0)

Passo 7

Agora, somamos todos esses vetores resultantes componente a componente:
F(x, y, z, w) = (3x - y + 0 + w, 2x + 2y - 4z + 0, x + 0 + 3z - 7w, 0 + 4y + 8z + 0)

Passo 8

Vamos simplificar as expressões em cada componente:
F(x, y, z, w) = (3x - y + w, ; 2x + 2y - 4z, ; x + 3z - 7w, ; 4y + 8z)

Resposta

Portanto, a aplicação do operador linear F(x, y, z, w) = (3x - y + w,; 2x + 2y - 4z,; x + 3z - 7w,; 4y + 8z) em um vetor genérico é dada por:

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