Seja
o operador linear assim definido na base canônica:
,
e
. Faça o que se pede:
a) Determine
onde
é um vetor genérico do
.
a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Álgebra Linear, especificamente lidando com operadores lineares. A gente precisa descobrir como o operador linear
age em um vetor genérico
do
. Para isso, vamos usar a definição de operador linear e as informações que já temos sobre como
atua nos vetores da base canônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador linear
tem duas propriedades principais:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Essas propriedades nos permitem determinar a ação de
em qualquer vetor do espaço, desde que saibamos como ele age em uma base desse espaço.
Passo 3
No nosso caso, a base canônica de
é composta pelos vetores:
O exercício nos dá a imagem desses vetores pela aplicação de
:
Passo 4
Agora, queremos encontrar
, onde
é um vetor genérico em
. Podemos escrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores da base canônica:
Devido à linearidade de
, podemos aplicar
a essa combinação linear separadamente:
Passo 5
Vamos substituir as imagens dos vetores da base que já conhecemos:
Passo 6
Agora, vamos fazer a multiplicação escalar de cada termo:
Passo 7
Agora, somamos todos esses vetores resultantes componente a componente:
Passo 8
Vamos simplificar as expressões em cada componente:
Resposta
Portanto, a aplicação do operador linear
em um vetor genérico
é dada por: