Sejam beta=e1, e2, e3 a base canônica de R^3, i.e.,
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1)
Considere beta^prime=u1, u2, u3 onde
u1=(1,1,1), u2=(1,2,0) e u3=(1,0,1)
Faça o que se pede:
d) Se v=(2,3,1) in R^3 determine [v]beta^prime.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as coordenadas do vetor u1=(1,1,1), u2=(1,2,0), u3=(1,0,1) em relação à base , onde:
Isso significa que queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações que relaciona os componentes de com os coeficientes dessa combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que representa v = c1u1 + c2u2 + c3u3 como combinação linear dos vetores de (2,3,1) = c1(1,1,1) + c2(1,2,0) + c3(1,0,1) :
Substituindo os vetores:

Passo 3

Agora, expandimos a combinação linear:
(2,3,1) = (c1 + c2 + c3, c1 + 2c2, c1 + c3)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 + c3 = 2 c1 + 2c2 = 3 c1 + c3 = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
c1 + c3 = 1 implies c3 = 1 - c1
Agora, substituímos c1 + c2 + (1 - c1) = 2 implies c2 + 1 = 2 implies c2 = 1 na primeira equação:

Passo 5

Com c1 + 2(1) = 3 implies c1 + 2 = 3 implies c1 = 1 , voltamos à segunda equação:
c3 = 1 - c1 = 1 - 1 = 0
Agora que temos , podemos encontrar :

Resposta

As coordenadas do vetor [v]beta' = 1 1 0 na base são:

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