Seja o operador linear assim definido na base canônica: , e . Faça o que se pede:
c) é um isomorfismo? Se for, determine .
Passo 1
Neste exercício, queremos descobrir se o operador linear é um isomorfismo, ou seja, se ele é bijetivo e possui uma inversa . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz associada ao operador na base canônica. Sabemos que transforma cada vetor da base canônica em outro vetor, então colocamos esses vetores imagem como colunas da matriz :
Passo 3
Para verificar se é um isomorfismo, precisamos confirmar se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Portanto, vamos calcular o determinante de .
Passo 4
Vamos calcular o determinante de det(A) = 3 cdot det 2 & -4 & 0 0 & 3 & -7 4 & 8 & 0 - (-1) cdot det 2 & -4 & 0 1 & 3 & -7 0 & 8 & 0 + 0 cdot det dots + 1 cdot det 2 & 2 & -4 1 & 0 & 3 0 & 4 & 8 usando a expansão por cofatores na primeira linha:
Vamos calcular cada um desses determinantes menores.
Como , concluímos que a matriz é invertível. Portanto, o operador é um isomorfismo.
Passo 8
Para determinar a inversa A^-1 = 80301 & 49602 & 12301 & 311204 -40301 & 63301 & -6301 & 45401 20301 & -63602 & 3301 & 831204 343 & -386 & -643 & 386 , precisamos encontrar a matriz inversa . Uma maneira de fazer isso é utilizando o método da matriz aumentada, onde colocamos ao lado da matriz identidade e realizamos operações de linha para transformar na identidade, fazendo com que a identidade se transforme em .
Após realizar todas as operações de linha necessárias, obtemos:
Resposta
O operador linear F^-1 = 80301 & 49602 & 12301 & 311204 -40301 & 63301 & -6301 & 45401 20301 & -63602 & 3301 & 831204 343 & -386 & -643 & 386 é um isomorfismo e sua inversa é dada pela matriz: