Seja F: R^4 R^4 o operador linear assim definido na base canônica: F(1,0,0,0)=(3,2,1,0), F(0,1,0,0)=(-1,2,0,4), F(0,0,1,0)=(0,-4,3,8) e F(0,0,0,1)=(1,0,-7,0). Faça o que se pede:
c) F é um isomorfismo? Se for, determine F^-1.

Passo 1

Neste exercício, queremos descobrir se o operador linear é um isomorfismo, ou seja, se ele é bijetivo e possui uma inversa . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz associada ao operador A = 3 & -1 & 0 & 1 2 & 2 & -4 & 0 1 & 0 & 3 & -7 0 & 4 & 8 & 0 na base canônica. Sabemos que transforma cada vetor da base canônica em outro vetor, então colocamos esses vetores imagem como colunas da matriz :

Passo 3

Para verificar se é um isomorfismo, precisamos confirmar se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Portanto, vamos calcular o determinante de .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = 3 cdot det 2 & -4 & 0 0 & 3 & -7 4 & 8 & 0 - (-1) cdot det 2 & -4 & 0 1 & 3 & -7 0 & 8 & 0 + 0 cdot det dots + 1 cdot det 2 & 2 & -4 1 & 0 & 3 0 & 4 & 8 usando a expansão por cofatores na primeira linha:
Vamos calcular cada um desses determinantes menores.

Passo 5

Calculando os determinantes menores:
  1. det 2 & -4 & 0 0 & 3 & -7 4 & 8 & 0 = 2 cdot (3 cdot 0 - (-7) cdot 8) - (-4) cdot (0 cdot 0 - (-7) cdot 4) + 0 = 2 cdot 56 + 4 cdot 28 = 112 + 112 = 224
  2. det 2 & -4 & 0 1 & 3 & -7 0 & 8 & 0 = 2 cdot (3 cdot 0 - (-7) cdot 8) - (-4) cdot (1 cdot 0 - (-7) cdot 0) + 0 = 2 cdot 56 + 4 cdot 0 = 112 + 0 = 112
  3. det 2 & 2 & -4 1 & 0 & 3 0 & 4 & 8 = 2 cdot (0 cdot 8 - 3 cdot 4) - 2 cdot (1 cdot 8 - 3 cdot 0) + (-4) cdot (1 cdot 4 - 0 cdot 0) = 2 cdot (-12) - 2 cdot 8 - 4 cdot 4 = -24 - 16 - 16 = -56

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na expressão do determinante de det(A) = 3 cdot 224 - (-1) cdot 112 + 0 cdot (dots) + 1 cdot (-56) = 672 + 112 + 0 - 56 = 728 :

Passo 7

Como , concluímos que a matriz é invertível. Portanto, o operador é um isomorfismo.

Passo 8

Para determinar a inversa A^-1 = 80301 & 49602 & 12301 & 311204 -40301 & 63301 & -6301 & 45401 20301 & -63602 & 3301 & 831204 343 & -386 & -643 & 386 , precisamos encontrar a matriz inversa . Uma maneira de fazer isso é utilizando o método da matriz aumentada, onde colocamos ao lado da matriz identidade e realizamos operações de linha para transformar na identidade, fazendo com que a identidade se transforme em .
Após realizar todas as operações de linha necessárias, obtemos:

Resposta

O operador linear F^-1 = 80301 & 49602 & 12301 & 311204 -40301 & 63301 & -6301 & 45401 20301 & -63602 & 3301 & 831204 343 & -386 & -643 & 386 é um isomorfismo e sua inversa é dada pela matriz:

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