Seja o operador linear assim definido na base canônica: , e . Faça o que se pede:
b) Determine o núcleo e a imagem de e bases para estes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem do operador linear . Basicamente, estamos lidando com transformações lineares e precisamos encontrar quais vetores do espaço de partida são mapeados para o vetor zero (núcleo) e qual é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos a partir da aplicação de (imagem). Para isso, vamos precisar montar a matriz de na base canônica e fazer algumas operações para descobrir essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de na base canônica. Sabemos que é definido pelas imagens dos vetores da base canônica de :
Então, a matriz de é formada colocando essas imagens como colunas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de A x = 0 , que é o conjunto de todos os vetores 3 & -1 & 0 & 1 2 & 2 & -4 & 0 1 & 0 & 3 & -7 0 & 4 & 8 & 0 x1 x2 x3 x4 = 0 0 0 0 tais que . Em termos de matrizes, isso significa resolver o sistema homogêneo:
Ou seja:
[
]
Passo 4
Vamos resolver esse sistema usando o método da matriz aumentada e escalonamento. A matriz aumentada fica:
Então, a única solução para o sistema Núc<=o(F) = 0 é . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero, ou seja:
ú
Como o núcleo contém apenas o vetor zero, a base para o núcleo é o conjunto vazio, pois não há vetores não nulos que formem uma base.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de A = 3 & -1 & 0 & 1 2 & 2 & -4 & 0 1 & 0 & 3 & -7 0 & 4 & 8 & 0 , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação de . Em termos matriciais, isso corresponde ao espaço gerado pelas colunas da matriz .
Vamos verificar a independência linear das colunas de :
Observando a matriz, percebemos que a quarta coluna pode ser combinada linearmente das primeiras três colunas. Portanto, as primeiras três colunas são linearmente independentes e formam uma base para a imagem.
Passo 7
Então, a imagem de Ima>=m(F) = span 3 2 1 0 , -1 2 0 4 , 0 -4 3 8 é um subespaço de gerado pelas primeiras três colunas de . Assim, uma base para a imagem de é:
Resposta
O núcleo de 3 2 1 0 é -1 2 0 4 e uma base para o núcleo é o conjunto vazio. A imagem de 0 -4 3 8 é o subespaço gerado pelas colunas , e , sendo estas colunas uma base para a imagem de .