Seja F: R^4 R^4 o operador linear assim definido na base canônica: F(1,0,0,0)=(3,2,1,0), F(0,1,0,0)=(-1,2,0,4), F(0,0,1,0)=(0,-4,3,8) e F(0,0,0,1)=(1,0,-7,0). Faça o que se pede:
b) Determine o núcleo e a imagem de F e bases para estes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem do operador linear . Basicamente, estamos lidando com transformações lineares e precisamos encontrar quais vetores do espaço de partida são mapeados para o vetor zero (núcleo) e qual é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos a partir da aplicação de (imagem). Para isso, vamos precisar montar a matriz de na base canônica e fazer algumas operações para descobrir essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de F(1,0,0,0) = (3,2,1,0) na base canônica. Sabemos que F(0,1,0,0) = (-1,2,0,4) é definido pelas imagens dos vetores da base canônica de F(0,0,1,0) = (0,-4,3,8) :
F(0,0,0,1) = (1,0,-7,0)
A = 3 & -1 & 0 & 1 2 & 2 & -4 & 0 1 & 0 & 3 & -7 0 & 4 & 8 & 0
Então, a matriz de é formada colocando essas imagens como colunas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de A x = 0 , que é o conjunto de todos os vetores 3 & -1 & 0 & 1 2 & 2 & -4 & 0 1 & 0 & 3 & -7 0 & 4 & 8 & 0 x1 x2 x3 x4 = 0 0 0 0 tais que . Em termos de matrizes, isso significa resolver o sistema homogêneo:
Ou seja:

[


]

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando o método da matriz aumentada e escalonamento. A matriz aumentada fica:
[cccc|c 3 & -1 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & -4 & 0 & 0 1 & 0 & 3 & -7 & 0 0 & 4 & 8 & 0 & 0 ]
Vamos realizar operações para chegar à forma escalonada:
  1. Linha 1 permanece como está.
  2. Linha 2: Subtrair L2' = L2 - 23L1 = (2 - 23cdot3, 2 - 23(-1), -4 - 23cdot0, 0 - 23cdot1, 0 - 23cdot0) = (0, 83, -4, -23, 0) da Linha 1:
    L3' = L3 - 13L1 = (1 - 13cdot3, 0 - 13(-1), 3 - 13cdot0, -7 - 13cdot1, 0 - 13cdot0) = (0, 13, 3, -223, 0)
  3. Linha 3: Subtrair [cccc|c 3 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 83 & -4 & -23 & 0 0 & 13 & 3 & -223 & 0 0 & 4 & 8 & 0 & 0 ] da Linha 1:
    L2'' = 38L2' = (0, 1, -128, -28, 0) = (0,1,-32, -14,0)
  4. Linha 4 permanece como está.
Após essas operações, a matriz fica:
L3'' = L3' - 13L2'' = (0, 13 - 13cdot1, 3 - 13cdot(-32), -223 - 13cdot(-14), 0 - 0) = (0,0, 72, -8812,0)
Continuando o escalonamento:
  1. Normalizar a Linha 2 multiplicando por L4' = L4 - 4L2'' = (0,4 - 4cdot1, 8 - 4cdot(-32), 0 - 4cdot(-14), 0 - 0) = (0,0,14,1,0) :
    [cccc|c 3 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -32 & -14 & 0 0 & 0 & 72 & -8812 & 0 0 & 0 & 14 & 1 & 0 ]
  2. Eliminar o L3''' = 27L3'' = (0,0,1, -17684, 0) = (0,0,1,-2221,0) da Linha 3 usando a Linha 2:
    L4'' = L4' - 14L3''' = (0,0,14 - 14cdot1,1 - 14cdot(-2221),0) = (0,0,0,1 + 30821,0) = (0,0,0,32921,0)
  3. Eliminar o 4 da Linha 4 usando a Linha 2:
    L4'' = (0,0,0,32921,0)
Agora, a matriz está:
[cccc|c 3 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -32 & -14 & 0 0 & 0 & 1 & -2221 & 0 0 & 0 & 0 & 32921 & 0 ]
Simplificando mais:
  1. Limpar a Linha 3 multiplicando por 32921x4 = 0 Rightarrow x4 = 0 :
    x3 - 2221x4 = 0 Rightarrow x3 = 0
  2. Eliminar o 14 da Linha 4 usando a Linha 3:
    x2 - 32x3 - 14x4 = 0 Rightarrow x2 = 0
Simplificando a última linha:
3x1 - x2 + x4 = 0 Rightarrow 3x1 = 0 Rightarrow x1 = 0
Agora, temos:
Finalmente, podemos resolver de cima para baixo:
Da Linha 4:
Da Linha 3:
Da Linha 2:
Da Linha 1:

Passo 5

Então, a única solução para o sistema Núc<=o(F) = 0 é . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero, ou seja:
ú
Como o núcleo contém apenas o vetor zero, a base para o núcleo é o conjunto vazio, pois não há vetores não nulos que formem uma base.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 3 & -1 & 0 & 1 2 & 2 & -4 & 0 1 & 0 & 3 & -7 0 & 4 & 8 & 0 , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação de . Em termos matriciais, isso corresponde ao espaço gerado pelas colunas da matriz .
Vamos verificar a independência linear das colunas de :
Observando a matriz, percebemos que a quarta coluna pode ser combinada linearmente das primeiras três colunas. Portanto, as primeiras três colunas são linearmente independentes e formam uma base para a imagem.

Passo 7

Então, a imagem de Ima>=m(F) = span 3 2 1 0 , -1 2 0 4 , 0 -4 3 8 é um subespaço de gerado pelas primeiras três colunas de . Assim, uma base para a imagem de é:

Resposta

O núcleo de 3 2 1 0 é -1 2 0 4 e uma base para o núcleo é o conjunto vazio. A imagem de 0 -4 3 8 é o subespaço gerado pelas colunas , e , sendo estas colunas uma base para a imagem de .

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