Seja , calcular e achar . A transformação é injetora?
Passo 1
O enunciado diz que f: → é linear e conhecemos os valores de f em quatro vetores de :
O conteúdo é aplicação linear (funcional linear) e vamos precisar usar que um funcional linear em pode ser escrito como , cujos coeficientes determinamos pelos valores dados.
Passo 2
Como f é linear, escrevemos para
Usando os quatro vetores fornecidos, montamos o sistema:
$$
$$
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação a3=1-a2 e da terceira a4=-a3= a2-1.
Substituindo na primeira a1=-1-a2 e na quarta:
(-1-a2)-2(1-a2)=-1
-1-a2-2+2a2=-1
a2-3=-1implies a2=2
Logo a3=1-2=-1, a1=-1-2=-3, a4=2-1=1
Passo 4
Portanto o funcional fica:
f(x1,x2,x3,x4)=-3x1+2x2 - x3 + x4
Passo 5
Para achar ker f, resolvemos
f(x)=0iff -3x1+2x2 - x3 + x4=0
Assim ker f=(x1,x2,x3,x4)inR^4:,-3x1+2x2 - x3 + x4=0
Passo 6
Como ker fneq0 (é um hiperplano de dimensão 3), f não é injetora.
Resposta
f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-3x_1+2x_2 - x_3 + x_4; \ker f={(x_1,x_2,x_3,x_4): -3x_1+2x_2 - x_3 + x_4=0}; f não é injetora.