Seja f: R^4 R uma transformação linear definida por
f(1,1,0,0)=-1, f(0,1,1,0)=1, f(0,0,1,1)=0, f(1,0,0,2)=-1
Seja f(x), calcular Ker f e achar f. A transformação é injetora?

Passo 1

O enunciado diz que f: R^4 R é linear e conhecemos os valores de f em quatro vetores de R^4:
v1=(1,1,0,0), f(v1)=-1; v2=(0,1,1,0), f(v2)=1; v3=(0,0,1,1), f(v3)=0; v4=(1,0,0,2), f(v4)=-1
O conteúdo é aplicação linear (funcional linear) e vamos precisar usar que um funcional linear em R^n pode ser escrito como f(x)=a1x1+a2x2+a3x3+a4x4, cujos coeficientes determinamos pelos valores dados.

Passo 2

Como f é linear, escrevemos para x=(x1,x2,x3,x4)
f(x)=a1x1+a2x2+a3x3+a4x4
Usando os quatro vetores fornecidos, montamos o sistema:
$$
a1+a2=-1, a2+a3=1, a3+a4=0, a1+2a4=-1
$$

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação a3=1-a2 e da terceira a4=-a3= a2-1.
Substituindo na primeira a1=-1-a2 e na quarta:
(-1-a2)-2(1-a2)=-1
-1-a2-2+2a2=-1
a2-3=-1implies a2=2
Logo a3=1-2=-1, a1=-1-2=-3, a4=2-1=1

Passo 4

Portanto o funcional fica:
f(x1,x2,x3,x4)=-3x1+2x2 - x3 + x4

Passo 5

Para achar ker f, resolvemos
f(x)=0iff -3x1+2x2 - x3 + x4=0
Assim
ker f=(x1,x2,x3,x4)inR^4:,-3x1+2x2 - x3 + x4=0

Passo 6

Como ker fneq0 (é um hiperplano de dimensão 3), f não é injetora.

Resposta

f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-3x_1+2x_2 - x_3 + x_4; \ker f={(x_1,x_2,x_3,x_4): -3x_1+2x_2 - x_3 + x_4=0}; f não é injetora.

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