Sejam p, q in K[x] não nulos, mostre que:
deg(p cdot q)=deg(p)+deg(q)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em K[x], o grau do produto de dois polinômios não nulos p e q é a soma dos seus graus. Vamos usar noções de grau, termo dominante e coeficiente líder.

Passo 2

Seja deg(p)=n com p(x)=anx^n+dots+a0 onde anneq0, e seja deg(q)=m com q(x)=bmx^m+dots+b0 onde bmneq0. Esses n e m existem porque p e q são não nulos.

Passo 3

Ao multiplicar p por q, o termo de maior grau vem do produto dos termos dominantes. Logo,
p(x),q(x)=anx^ncdot bmx^m+ (termos de grau < n+m) = (an bm)x^n+m+dots
Como K é um corpo, an bmneq0. Não há outro modo de obter x^n+m na soma de produtos dos monômios, então esse é de fato o termo de maior grau.

Passo 4

Portanto, o polinômio p(x)q(x) tem grau exatamente n+m, ou seja,
deg(pq)=deg(p)+deg(q)

Resposta

deg(pcdot q)=deg(p)+deg(q)

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