Sejam p, q in K[x] não nulos, mostre que:
Se p neq-q então deg(p+q) <= max deg(p), deg(q)

Passo 1

O enunciado diz que, dados polinômios não nulos p,qin K[x] com pneq -q, devemos provar que deg(p+q)<=maxdeg(p),deg(q). O conteúdo aqui é grau de polinômio e soma de polinômios, e vamos usar a definição de grau baseada no coeficiente líder.

Passo 2

Seja deg(p)=n e deg(q)=m. Podemos escrever em forma canônica
p(x)=anx^n + an-1x^n-1 + dots + a0,
q(x)=bmx^m + bm-1x^m-1 + dots + b0,
com anneq0 e bmneq0.

Passo 3

Considere primeiro o caso nneq m. Sem perda de generalidade, suponha n>m. Então ao somar
p(x)+q(x)=anx^n + (termos de grau< n),
o coeficiente de x^n continua anneq0, logo deg(p+q)=n=maxn,m.

Passo 4

Agora o caso n=m. A soma fica
p(x)+q(x)=(an + bn)x^n + (termos de grau< n)
Como pneq -q, temos an + bnneq0. Portanto deg(p+q)=n=maxn,m.

Passo 5

Em ambos os casos mostramos que deg(p+q)=maxn,m, daí segue imediatamente
deg(p+q)<=maxdeg(p),deg(q)

Resposta

deg(p+q)<=maxdeg(p),deg(q)

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