Sejam p1, ldots, pn in K[x] polinômios coprimos dois a dois (i.e., i neq j para todo pi mid q ) tais que i para todo q in K[x], onde p1 cdot ldots cdot pn mid q. Mostre que .

Passo 1

Neste exercício, estamos trabalhando no anel ,mathbb{K}[x], que é um domínio euclidiano. Temos polinômios p1,dots,pn tais que gcd(pi,pj)=1 para todo ineq j e cada pi divide um mesmo polinômio q. Vamos usar indução em n e o lema de Euclides: se gcd(a,b)=1 e amid bc, então amid c.

Passo 2

Para n=1 a afirmação é imediata, pois basta observar que p1mid q por hipótese.

Passo 3

Suponha agora que o resultado vale para n-1 polinômios. Ou seja, se p1,dots,pn-1 são coprimos dois a dois e cada um divide q, então existe hinK[x] tal que
q = (p1cdots pn-1),h

Passo 4

Como gcd(pn,pi)=1 para todo i, segue que
gcdl(pn,,p1cdots pn-1r)=1
Além disso, por hipótese pnmid q e da expressão de q acima temos
pn mid (p1cdots pn-1),h

Passo 5

Pelo lema de Euclides em K[x], essa divisibilidade e o fato de gcd(pn,p1cdots pn-1)=1 implicam que pnmid h. Logo, existe h' tal que
h = pn,h'
Substituindo de volta em q obtemos
q = (p1cdots pn-1),pn,h' = (p1cdots pn),h'
Isso mostra que p1cdots pnmid q, completando o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução, p1cdots pnmid q.

Exercícios relacionados