Sejam
polinômios coprimos dois a dois (i.e.,
para todo
) tais que
para todo
, onde
. Mostre que
.
Passo 1
Neste exercício, estamos trabalhando no anel ,mathbb{K}[x], que é um domínio euclidiano. Temos polinômios
tais que
para todo
e cada
divide um mesmo polinômio
. Vamos usar indução em
e o lema de Euclides: se
e
, então
.
Passo 2
Para
a afirmação é imediata, pois basta observar que
por hipótese.
Passo 3
Suponha agora que o resultado vale para
polinômios. Ou seja, se
são coprimos dois a dois e cada um divide
, então existe
tal que
Passo 4
Como
para todo
, segue que
Além disso, por hipótese
e da expressão de
acima temos
Passo 5
Pelo lema de Euclides em
, essa divisibilidade e o fato de
implicam que
. Logo, existe
tal que
Substituindo de volta em
obtemos
Isso mostra que
, completando o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução,
.