Seja M a matriz da tranformação linear T em relação a base canonica de R^3 :
M=(rrr -17 & 18 & -27 -14 & 15 & -21 2 & -2 & 4 )
Provar que T é uma projeção (ou seja, T circ T=T ).

Passo 1

A questão dá a matriz
M=-17 &18 &-27 -14 &15 &-21 2 &-2 &4
do endomorfismo T: R^3to R^3 na base canônica e pede para provar que T é projeção, ou seja, que Tcirc T=T. Vamos usar conteúdos de transformações lineares e projeções (idempotência).

Passo 2

Para ser projeção, T deve satisfazer
Tcirc T=T,
ou seja, na base canônica a matriz M precisa cumprir
M^2=M
Lembrando que o produto de matrizes é dado por
(M^2)ij=sumk=1^3 Mik,Mkj

Passo 3

Agora calculamos M^2 usando produto de matrizes. Após fazer o produto linha-por-coluna, encontra-se
M^2= -17 & 18 & -27 -14 & 15 & -21 2 & -2 & 4 ,
que coincide exatamente com M.

Passo 4

Como obtivemos M^2=M, segue que Tcirc T=T. Portanto, T é de fato uma projeção.

Resposta

Como M^2=M, concluímos que Tcirc T=T, logo T é projeção.

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