Seja a matriz da tranformação linear em relação a base canonica de :
Provar que T é uma projeção (ou seja, T circ T=T ).
Passo 1
A questão dá a matriz
M=-17 &18 &-27 -14 &15 &-21 2 &-2 &4
do endomorfismo T: R^3to R^3 na base canônica e pede para provar que T é projeção, ou seja, que Tcirc T=T. Vamos usar conteúdos de transformações lineares e projeções (idempotência).
Passo 2
Para ser projeção, T deve satisfazer
Tcirc T=T,
ou seja, na base canônica a matriz M precisa cumprir
M^2=M
Lembrando que o produto de matrizes é dado por
(M^2)ij=sumk=1^3 Mik,Mkj
Passo 3
Agora calculamos M^2 usando produto de matrizes. Após fazer o produto linha-por-coluna, encontra-se
M^2= -17 & 18 & -27 -14 & 15 & -21 2 & -2 & 4 ,
que coincide exatamente com M.
Passo 4
Como obtivemos M^2=M, segue que Tcirc T=T. Portanto, T é de fato uma projeção.
Resposta
Como M^2=M, concluímos que Tcirc T=T, logo T é projeção.