Sejam a \in \mathbb{R} e f(x)=\frac{1}{x^{2}+3}, calcule:
f\left(a^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • a\in\mathbb{R}.
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+3}.
    O que se pede: calcular f\left(a^{2}\right), ou seja, avaliar a função f no ponto x=a^{2}.

Passo 2

Entendimento da operação que vamos fazer: "calcular f\left(a^{2}\right)" significa substituir a variável x da definição de f(x) por a^{2}. Em símbolos, se f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+3}, então
f\left(a^{2}\right)=\dfrac{1}{\bigl(a^{2}\bigr)^{2}+3}.

Passo 3

Regra de potências usada aqui: para qualquer número real t e inteiros positivos m,n vale a identidade
\bigl(t^{m}\bigr)^{n}=t^{mn}.
Aplicando com t=a, m=2 e n=2 obtemos
\bigl(a^{2}\bigr)^{2}=a^{2\cdot 2}=a^{4}.

Passo 4

Substituindo o resultado do passo anterior na expressão de f\left(a^{2}\right) obtemos
f\left(a^{2}\right)=\dfrac{1}{a^{4}+3}.
Observação sobre domínio: como a^{4}\ge 0 para todo a\in\mathbb{R}, tem-se a^{4}+3>0, logo o denominador nunca é zero e a expressão está bem definida para todo a\in\mathbb{R}.

Passo 5

Dois exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • Se a=1 então f(1^{2})=f(1)=\dfrac{1}{1^{4}+3}=\dfrac{1}{4}.
  • Se a=2 então f(2^{2})=f(4)=\dfrac{1}{2^{4}+3}=\dfrac{1}{19}.

Resposta

\dfrac{1}{a^{4}+3}

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