Sejam a \in \mathbb{R} e f(x)=\frac{1}{x^{2}+3}, calcule:
\frac{1}{f(a)}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a\in\mathbb{R}.
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+3}.
    O que se pede: calcular \dfrac{1}{f(a)} (ou seja, o recíproco do valor de f em x=a).

Passo 2

Avaliar a função em x=a. Substituir x por a em f(x):
f(a)=\frac{1}{a^{2}+3}.

Passo 3

Verificar se o recíproco está bem definido (isto é, se f(a)\neq0). Observação sobre o denominador:
a^{2}+3\ge 0+3=3,
portanto a^{2}+3>0 para todo a\in\mathbb{R}. Logo f(a)=\dfrac{1}{a^{2}+3} é sempre diferente de zero, então o recíproco existe.

Passo 4

Escrever explicitamente o recíproco usando a expressão de f(a):
\frac{1}{f(a)}=\frac{1}{\dfrac{1}{a^{2}+3}}.

Passo 5

Usar a propriedade básica de recíprocos: para qualquer número real x\neq0 vale
\frac{1}{\dfrac{1}{x}}=x.
Aplicando com x=a^{2}+3 (que já vimos ser não nulo), obtém-se
\frac{1}{f(a)}=\frac{a^{2}+3}{1}.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para conferir a ideia (opcional): se a=2 então
f(2)=\frac{1}{2^{2}+3}=\frac{1}{7}, \qquad \frac{1}{f(2)}=\frac{1}{\tfrac{1}{7}}=7.
Isso confirma a operação de recíproco ilustrada acima.

Resposta

a^{2}+3

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