seja W o conjunto de todos os vetores da forma apresentada, com a, b e c representando números reais arbitrários. Em cada caso, encontre um conjunto de vetores S que geram W ou dê um exemplo mostrando que W não é um espaço vetorial.
[ca-b b-c c-a b]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto W formado por todos os vetores da forma:
a - b b - c c - a b
onde a , b e c são números reais quaisquer. O conteúdo da matéria envolve espaços vetoriais e conjuntos geradores. Para resolver, vamos precisar identificar se conseguimos expressar qualquer vetor de W como combinação linear de alguns vetores específicos, ou então mostrar que W não é um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar expressar o vetor dado em termos de a , b e c . Observando cada componente:
a - b b - c c - a b
Podemos reescrever esse vetor separando os coeficientes de a , b e c :
a 1 0 -1 0 + b -1 1 0 1 + c 0 -1 1 0
Aqui, identificamos três vetores que, quando combinados linearmente com a , b e c , geram qualquer vetor de W .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses vetores são suficientes para gerar todo o conjunto W . Isso significa que cada vetor em W pode ser formado por alguma combinação desses três vetores. Como conseguimos expressar o vetor genérico de W dessa forma, concluímos que esses vetores geram W .

Passo 4

Por fim, para garantir que W é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como a existência de um vetor zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar. Como conseguimos representá-lo por combinações lineares, todas essas propriedades estão satisfeitas.

Resposta

Um conjunto de vetores que gera W é:
S = 1 0 -1 0 , -1 1 0 1 , 0 -1 1 0

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