Seja F o subespaço do R^5 gerado pelos vetores:
u1=(1,2,1,3,2), u2=(1,3,3,5,3),
u3=(3,8,7,13,8), u4=(1,4,6,9,7),
u5=(5,13,13,25,19).
a) Determine uma base de F composta pelos vetores dados.
b) Determine a dimensão de F.
c) Escreva w=(2,3,-1,2,0) na base escolhida.

Passo 1

O enunciado pede, em R^5 , (a) uma base de F formada por vetores do conjunto u1,dots,u5, (b) a dimensão de F e (c) a expressão de w nessa base. Vamos usar eliminação de Gauss para selecionar vetores independentes e depois resolver um sistema para escrever w.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são u1,dots,u5:
1 & 1 & 3 & 1 & 5 2 & 3 & 8 & 4 & 13 1 & 3 & 7 & 6 & 13 3 & 5 & 13& 9 & 25 2 & 3 & 8 & 7 & 19
Aplicando eliminação de Gauss, obtemos pivôs nas colunas 1, 2 e 4, e as colunas 3 e 5 tornam-se combinações lineares das anteriores.

Passo 3

Como os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 4, uma base de F formada por vetores do conjunto dado é
,u1,;u2,;u4

Passo 4

O número de vetores dessa base é 3, logo
dim(F)=3

Passo 5

Para escrever w=(2,3,-1,2,0) na base u1,u2,u4, procuramos escalares a,b,c tais que
a,u1 + b,u2 + c,u4 = w
Isso gera o sistema
a + b + c = 2, 2a + 3b + 4c = 3, a + 3b + 6c = -1,
cuja solução é
a=2, b=1, c=-1

Resposta

a) u1,u2,u4
b) dim(F)=3
c) w = 2,u1 + 1,u2 - 1,u4

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