Seja o subespaço do gerado pelos vetores: , , .
a) Determine uma base de composta pelos vetores dados.
b) Determine a dimensão de .
c) Escreva na base escolhida.
Passo 1
O enunciado pede, em , (a) uma base de formada por vetores do conjunto , (b) a dimensão de e (c) a expressão de nessa base. Vamos usar eliminação de Gauss para selecionar vetores independentes e depois resolver um sistema para escrever .
Passo 2
Formamos a matriz cujas colunas são :
Aplicando eliminação de Gauss, obtemos pivôs nas colunas 1, 2 e 4, e as colunas 3 e 5 tornam-se combinações lineares das anteriores.
Passo 3
Como os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 4, uma base de F formada por vetores do conjunto dado é
,u1,;u2,;u4
Passo 4
O número de vetores dessa base é 3, logo
dim(F)=3
Passo 5
Para escrever w=(2,3,-1,2,0) na base u1,u2,u4, procuramos escalares a,b,c tais que
a,u1 + b,u2 + c,u4 = w
Isso gera o sistema
a + b + c = 2, 2a + 3b + 4c = 3, a + 3b + 6c = -1,