Seja f(t)=cos (t)raiz1+a^2 t^2 i+sen(t)raiz1+a^2 t^2 j+-a traiz1+a^2 t^2 k, com a neq 0. Mostre que |f(t)|=1, para todo t, e que f^prime(t) cdot f(t)=0, para todo t.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
f(t)=l(cos(t)raiz1+a^2t^2,;sin(t)raiz1+a^2t^2,;-a,traiz1+a^2t^2r),
com aneq0, e pede para mostrar que |f(t)|=1 e que f'(t)cdot f(t)=0. Usaremos definição de norma em R^3, regras de derivação (produto e cadeia) e propriedades do produto escalar.

Passo 2

Calculemos o quadrado da norma de f(t):
|f(t)|^2 =l(tfraccos traiz1+a^2t^2r)^2 +l(tfracsin traiz1+a^2t^2r)^2 +l(tfrac-a,traiz1+a^2t^2r)^2
No numerador somamos:
cos^2t+sin^2t+(a,t)^2 = 1 + a^2t^2,
e o denominador é 1+a^2t^2, logo
|f(t)|^2 = 1+a^2t^21+a^2t^2=1 Longrightarrow |f(t)|=1

Passo 3

Precisamos de f'(t). Cada componente é produto de função trigonométrica por (1+a^2t^2)^-1/2. Por exemplo, para a primeira componente
ddtl[cos t,(1+a^2t^2)^-1/2r] =-sin t,(1+a^2t^2)^-1/2 +cos t!cdot!(-tfrac12)(1+a^2t^2)^-3/2,(2a^2t)
Fazendo cálculo análogo nas outras duas, chega-se a
f'(t) =1(1+a^2t^2)^3/2l( -sin t,(1+a^2t^2)-a^2tcos t,; cos t,(1+a^2t^2)-a^2tsin t,; -,a,(1+a^2t^2)+a^3t^2 r)
Simplificando o terceiro termo no numerador dá -a.

Passo 4

Agora o produto escalar f'(t)cdot f(t). Escrevendo D=1+a^2t^2,
f'(t)cdot f(t) =1D^3/2l(-sin t,D-a^2tcos tr)cos traiz D +1D^3/2l(cos t,D-a^2tsin tr)sin traiz D +-aD^3/2-a,traiz D
Colocando tudo sobre D^2 e somando:
-sin tcos t,D -a^2tcos^2t +cos tsin t,D -a^2tsin^2t +a^2tD^2 =-a^2t(cos^2t+sin^2t)+a^2tD^2=0
Logo f'(t)cdot f(t)=0.

Resposta

|f(t)|=1 e f'(t)cdot f(t)=0 para todo t.

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