- Suponha que
para todo
em uma bola
e todo
. Use o teorema do valor médio para provar que
é constante em
.
- Um conjunto
é dito convexo se para todo
tivermos que o segmento de reta que tem extremidade em
também estiver em
, isto é, se tivermos
para todo
.
a) Mostre que toda bola é convexa.
b) Se
para todo
em um conjunto convexo
e todo
, mostre que
é constante em
.
a) Mostre que toda bola é convexa.
b) Se
Passo 1
O enunciado é sobre funções diferenciáveis em
e derivadas direcionais. Em (10) temos que
para todo
em uma bola
e todo
, e queremos usar o Teorema do Valor Médio para provar que
é constante em
. Em (11) define-se convexidade de um conjunto
via
Em (11a) mostramos que toda bola é convexa; em (11b) sob a mesma hipótese de derivadas direcionais nulas em um conjunto convexo
, provamos que
é constante em
.
Passo 2
Mostramos que qualquer bola
é convexa. Tomemos
e
. Então
Logo
, provando a convexidade.
Passo 3
Resolvendo (10): sejam
. Como
é convexo, o segmento
fica todo em
. Definimos
Pelo Teorema do Valor Médio unidimensional existe
tal que
Por cálculo de derivada direcional,
Em particular
pela hipótese de (10). Logo
, isto é,
. Como
eram arbitrários em
,
é constante em
.
Passo 4
Resolvendo (11b): seja
convexo e suponha
para todo
e todo
. Dados
, o segmento
fica em
. De novo
satisfaz
, de onde
. Assim
é constante em
.
Resposta
-
é constante em .
11a. Toda bolaé convexa.
11b. Separa todo convexo e todo , então é constante em .