Seja
uma forma bilinear. Prove que:
a)
,
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá uma forma bilinear
. As perguntas são:
- (a) Mostrar que
e para todo e . - (b) Mostrar que
para todo e .
Informações relevantes dadas:
- A função
é bilinear, isto é, é linear em cada argumento quando o outro é fixado (definição será usada explicitamente nos passos seguintes). - Os símbolos
referem-se ao vetor nulo dos espaços vetoriais e conforme o contexto.
Passo 2
Primeiro vamos escrever com precisão o que significa dizer que
é bilinear — isto é fundamental e vamos usar essa definição passo a passo.
Definição (linhas essenciais, lembrando que tudo aqui vale para quaisquer
,
e escalares
):
Em palavras: fixando o segundo argumento,
é uma aplicação linear de
em
; fixando o primeiro argumento,
é uma aplicação linear de
em
.
Também usamos propriedades básicas de espaços vetoriais e escalares:
- Para qualquer vetor
, é o vetor nulo. - Para qualquer escalar
, (o produto do escalar pelo vetor nulo) é o vetor nulo. - Em particular,
é um escalar, e é denotado por .
Passo 3
Provar
para todo
.
Escolha um vetor arbitrário
. Observe que o vetor nulo em
pode ser escrito como
(multiplicação por escalar
). Aplicando a linearidade de
no primeiro argumento (com
e
ou diretamente com
e
), temos
Mas
multiplicando um número real dá
. Logo
Como
foi arbitrário, a identidade vale para todo
.
Comentário didático: a ideia é a mesma que em qualquer aplicação linear
:
. Aqui usamos que, para cada
fixo, a função
é linear.
Passo 4
Provar
para todo
.
Agora fixamos
e aplicamos a linearidade de
no segundo argumento, usando que o vetor nulo de
é
para qualquer
. Assim
Portanto
para todo
.
Comentário didático: isso é análogo ao passo anterior, só que usamos a linearidade no segundo argumento.
Passo 5
Provar
e
.
Começamos com
. Note que
é
. Pela linearidade de
no primeiro argumento:
Do mesmo modo, para o segundo argumento, usando linearidade em
:
Comentário didático: a propriedade usada é simples — multiplicar o argumento por um escalar
puxa esse escalar para fora como multiplicador do valor real
. Em especial, com
aparece o sinal negativo.
Passo 6
Observação extra (útil para a prova e para fixar a intuição). Com as igualdades anteriores também se obtém, por exemplo,
mostrando que inverter os dois argumentos simultaneamente preserva o valor — consequência natural da bilinearidade.
Exemplo concreto para fixar: na forma bilinear usual produto escalar em
,
, vale claramente
e
, concordando com os resultados acima.