Seja f: U \times V \rightarrow \mathbb{R} uma forma bilinear. Prove que:
a) f(0, v)=f(u, 0)=0,
b) f(-u, v)=f(u,-v)=-f(u, v).

Passo 1

O enunciado nos dá uma forma bilinear f: U \times V \to \mathbb{R}. As perguntas são:
  • (a) Mostrar que f(0,v)=0 e f(u,0)=0 para todo u\in U e v\in V.
  • (b) Mostrar que f(-u,v)=f(u,-v)=-f(u,v) para todo u\in U e v\in V.
Informações relevantes dadas:
  • A função f é bilinear, isto é, é linear em cada argumento quando o outro é fixado (definição será usada explicitamente nos passos seguintes).
  • Os símbolos 0 referem-se ao vetor nulo dos espaços vetoriais U e V conforme o contexto.

Passo 2

Primeiro vamos escrever com precisão o que significa dizer que f é bilinear — isto é fundamental e vamos usar essa definição passo a passo.
Definição (linhas essenciais, lembrando que tudo aqui vale para quaisquer u,u'\in U, v,v'\in V e escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}):
f(\alpha u+\beta u',\,v)=\alpha f(u,v)+\beta f(u',v),
f(u,\,\alpha v+\beta v')=\alpha f(u,v)+\beta f(u,v').
Em palavras: fixando o segundo argumento, u\mapsto f(u,v) é uma aplicação linear de U em \mathbb{R}; fixando o primeiro argumento, v\mapsto f(u,v) é uma aplicação linear de V em \mathbb{R}.
Também usamos propriedades básicas de espaços vetoriais e escalares:
  • Para qualquer vetor w, \;0\cdot w é o vetor nulo.
  • Para qualquer escalar \lambda, \lambda\cdot 0 (o produto do escalar pelo vetor nulo) é o vetor nulo.
  • Em particular, -1 é um escalar, e (-1)\cdot u é denotado por -u.

Passo 3

Provar f(0,v)=0 para todo v\in V.
Escolha um vetor arbitrário u\in U. Observe que o vetor nulo em U pode ser escrito como 0=0\cdot u (multiplicação por escalar 0). Aplicando a linearidade de f no primeiro argumento (com \alpha=0 e \beta=0 ou diretamente com \alpha=0 e u'=0), temos
f(0,v)=f((0)\cdot u,v)=(0)\,f(u,v).
Mas 0 multiplicando um número real dá 0. Logo
f(0,v)=0\cdot f(u,v)=0.
Como u foi arbitrário, a identidade vale para todo v\in V.
Comentário didático: a ideia é a mesma que em qualquer aplicação linear T: T(0)=T(0\cdot u)=0\cdot T(u)=0. Aqui usamos que, para cada v fixo, a função u\mapsto f(u,v) é linear.

Passo 4

Provar f(u,0)=0 para todo u\in U.
Agora fixamos u\in U e aplicamos a linearidade de f no segundo argumento, usando que o vetor nulo de V é 0=(0)\cdot v para qualquer v\in V. Assim
f(u,0)=f\big(u,(0)\cdot v\big)=(0)\,f(u,v)=0.
Portanto f(u,0)=0 para todo u\in U.
Comentário didático: isso é análogo ao passo anterior, só que usamos a linearidade no segundo argumento.

Passo 5

Provar f(-u,v)=-f(u,v) e f(u,-v)=-f(u,v).
Começamos com f(-u,v). Note que -u é (-1)\cdot u. Pela linearidade de f no primeiro argumento:
f(-u,v)=f\big((-1)\cdot u,\,v\big)=(-1)\,f(u,v)=-f(u,v).
Do mesmo modo, para o segundo argumento, usando linearidade em v:
f(u,-v)=f\big(u,(-1)\cdot v\big)=(-1)\,f(u,v)=-f(u,v).
Comentário didático: a propriedade usada é simples — multiplicar o argumento por um escalar \lambda puxa esse escalar para fora como multiplicador do valor real f(u,v). Em especial, com \lambda=-1 aparece o sinal negativo.

Passo 6

Observação extra (útil para a prova e para fixar a intuição). Com as igualdades anteriores também se obtém, por exemplo,
f(-u,-v)=(-1)\,f(-u,v)=(-1)(-1)f(u,v)=f(u,v),
mostrando que inverter os dois argumentos simultaneamente preserva o valor — consequência natural da bilinearidade.
Exemplo concreto para fixar: na forma bilinear usual produto escalar em \mathbb{R}^n, f(x,y)=x\cdot y, vale claramente f(0,y)=0 e f(-x,y)=-f(x,y), concordando com os resultados acima.

Resposta

f(0,v)=f(u,0)=0 para todo u\in U, v\in V.
f(-u,v)=f(u,-v)=-f(u,v) para todo u\in U, v\in V.

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