Seja
. Calcule
usando a definição de derivada.
Passo 1
O exercício pede para calcular a derivada de \f(x)=\frac{3x2+4x}{x2+1} usando a definição de derivada, ou seja, aplicando \f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. Vamos precisar conhecer bem álgebra de frações e a propriedade de limite que permite cancelar termos de ordem h.
Passo 2
Começamos escrevendo f(x+h). Temos f(x+h)=\\frac{3(x+h)2+4(x+h)}{(x+h)2+1}. Expandindo o numerador e o denominador: \ (x+h)2=x2+2xh+h^2, então
Passo 3
Agora montamos o quociente de diferença:
Passo 4
Para somar essas frações, colocamos num denominador comum \(x2+2xh+h2+1)(x^2+1). Então:
Passo 5
Agora desenvolvemos o numerador grande e, em seguida, vamos identificar e cancelar fatores de h. Primeiro o produto 1:
Passo 6
Subtraindo produto 2 do produto 1 o que sobra no numerador:
Note que todos os termos têm fator h. Agrupando e tirando h em evidência:
Passo 7
Então
Resposta
$f’(x)=\frac{-4x2+6x+4}{(x2+1)^2}$