Seja f(x)=3 x^2+4 xx^2+1. Calcule f^prime(x) usando a definição de derivada.

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de \f(x)=\frac{3x2+4x}{x2+1} usando a definição de derivada, ou seja, aplicando \f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. Vamos precisar conhecer bem álgebra de frações e a propriedade de limite que permite cancelar termos de ordem h.

Passo 2

Começamos escrevendo f(x+h). Temos f(x+h)=\\frac{3(x+h)2+4(x+h)}{(x+h)2+1}. Expandindo o numerador e o denominador: \ (x+h)2=x2+2xh+h^2, então
3(x+h)^2+4(x+h)=3(x^2+2xh+h^2)+4x+4h=3x^2+6xh+3h^2+4x+4h
(x+h)^2+1=x^2+2xh+h^2+1

Passo 3

Agora montamos o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h=1h[3x^2+6xh+3h^2+4x+4hx^2+2xh+h^2+1-3x^2+4xx^2+1]

Passo 4

Para somar essas frações, colocamos num denominador comum \(x2+2xh+h2+1)(x^2+1). Então:
f(x+h)-f(x)h=1hcdot (3x^2+6xh+3h^2+4x+4h)(x^2+1)-(3x^2+4x)(x^2+2xh+h^2+1)(x^2+2xh+h^2+1)(x^2+1)

Passo 5

Agora desenvolvemos o numerador grande e, em seguida, vamos identificar e cancelar fatores de h. Primeiro o produto 1:
(3x^2+6xh+3h^2+4x+4h)(x^2+1)=3x^2(x^2+1)+6xh(x^2+1)+3h^2(x^2+1)+4x(x^2+1)+4h(x^2+1) Ou seja:
=3x^4+3x^2+6x^3h+6xh+3x^2h^2+3h^2+4x^3+4x+4x^2h+4h E o produto 2:
(3x^2+4x)(x^2+2xh+h^2+1)=3x^2(x^2+2xh+h^2+1)+4x(x^2+2xh+h^2+1) Que dá:
=3x^4+6x^3h+3x^2h^2+3x^2+4x^3+8x^2h+4xh^2+4x

Passo 6

Subtraindo produto 2 do produto 1 o que sobra no numerador:
(3x^4+3x^2+6x^3h+6xh+3x^2h^2+3h^2+4x^3+4x+4x^2h+4h) - (3x^4+6x^3h+3x^2h^2+3x^2+4x^3+8x^2h+4xh^2+4x) Cancelam-se vários termos. Fica:
(6xh+3h^2+4x^2h+4h+3h^2) - (8x^2h+4xh^2)
Note que todos os termos têm fator h. Agrupando e tirando h em evidência:
= hl(6x+3h+4x^2+4+3h -8x^2 -4xhr)

Passo 7

Então
f(x+h)-f(x)h=hl(6x+4 -4x^2 + termos com hr)h,(x^2+2xh+h^2+1)(x^2+1) Cancelamos h e aplicamos o limite h→0. Todos os termos que ainda contêm h vão a zero. O denominador em h→0 vira \(x2+1)2. Portanto:
f'(x)=6x+4 -4x^2(x^2+1)^2 Por fim, podemos reescrever o numerador em ordem decrescente: -4x^2+6x+4.

Resposta

$f’(x)=\frac{-4x2+6x+4}{(x2+1)^2}$

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