Seja f(x)=a x^{2}+b x+c com a \neq 0.
a) Mostre que as raízes de f são dadas por x_{1}= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} \operatorname{com} \Delta \geq 0.
b) Conclua que
x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \quad \text { e } \quad x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}
c) O gráfico de f é uma parábola. Seja V=\left(x_{v}, y_{v}\right) o vértice dessa parábola. Deduza as fórmulas de x_{v} e y_{v}.
d) use o item b) para determinar as raízes da função f(x)=x^{2}-5 x+6.

Passo 1

O enunciado trata da função quadrática
f(x)=a x^{2}+b x+c,\quad a\neq0,
e pede:
– (a) demonstrar a fórmula das raízes x_{1} e x_{2} usando \Delta=b^{2}-4ac;
– (b) extrair as relações x_{1}+x_{2} e x_{1}x_{2};
– (c) encontrar as coordenadas do vértice V=(x_{v},y_{v});
– (d) aplicar o resultado de (b) a f(x)=x^{2}-5x+6.
Os conteúdos são: resolução de equação quadrática por completamento de quadrado (fórmula de Bhaskara), propriedades de soma e produto de raízes e geometria de parábola.

Passo 2

Para achar as raízes resolvemos f(x)=0:
a x^{2}+b x+c=0.
Dividindo por a:
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.
Fazendo completamento de quadrado, isolamos os termos em x:
x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.
Adicionamos \bigl(\tfrac{b}{2a}\bigr)^{2} a ambos os lados:
\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2} =\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a} =\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} =\frac{\Delta}{4a^{2}}.
Tomando raiz quadrada em cada membro:
x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a},
logo
x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}.
Daí surgem as duas raízes
x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},
válidas quando \Delta\ge0.

Passo 3

Usando as expressões de x_{1} e x_{2}:
x_{1}+x_{2} =\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-2b}{2a} =-\frac{b}{a},
x_{1}x_{2} =\frac{(-b-\sqrt{\Delta})(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^{2}} =\frac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}} =\frac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}} =\frac{4ac}{4a^{2}} =\frac{c}{a}.

Passo 4

O vértice V=(x_{v},y_{v}) de uma parábola ax^{2}+bx+c ocorre na abscissa em que f'(x)=0. Como f'(x)=2ax+b, tem-se
2a\,x_{v}+b=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{v}=-\frac{b}{2a}.
A ordenada y_{v} é f(x_{v}). Substituindo:
y_{v} =a\Bigl(-\frac{b}{2a}\Bigr)^{2} +b\Bigl(-\frac{b}{2a}\Bigr) +c =\frac{b^{2}}{4a}-\frac{b^{2}}{2a}+c =-\frac{b^{2}-4ac}{4a} =-\frac{\Delta}{4a}.

Passo 5

Para f(x)=x^{2}-5x+6 temos a=1, b=-5, c=6. Pelo item (b):
x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=5, \qquad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=6.
Procuramos dois números cuja soma é 5 e o produto é 6. Esses números são 2 e 3.

Resposta

As raízes da função f(x)=x^{2}-5x+6 são
x_{1}=2, \quad x_{2}=3.

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