Seja
com
.
a) Mostre que as raízes de
são dadas por
.
b) Conclua que
c) O gráfico de
é uma parábola. Seja
o vértice dessa parábola. Deduza as fórmulas de
e
.
d) use o item b) para determinar as raízes da função
.
a) Mostre que as raízes de
b) Conclua que
d) use o item b) para determinar as raízes da função
Passo 1
O enunciado trata da função quadrática
e pede:
– (a) demonstrar a fórmula das raízes e
usando
;
– (a) demonstrar a fórmula das raízes
– (b) extrair as relações
e
;
– (c) encontrar as coordenadas do vértice
;
– (d) aplicar o resultado de (b) a
.
Os conteúdos são: resolução de equação quadrática por completamento de quadrado (fórmula de Bhaskara), propriedades de soma e produto de raízes e geometria de parábola.
Passo 2
Para achar as raízes resolvemos
:
Dividindo por
:
Fazendo completamento de quadrado, isolamos os termos em
:
Adicionamos
a ambos os lados:
Tomando raiz quadrada em cada membro:
logo
Daí surgem as duas raízes
válidas quando
.
Passo 3
Usando as expressões de
e
:
Passo 4
O vértice
de uma parábola
ocorre na abscissa em que
. Como
, tem-se
A ordenada
é
. Substituindo:
Passo 5
Para
temos
,
,
. Pelo item (b):
Procuramos dois números cuja soma é
e o produto é
. Esses números são
e
.
Resposta
As raízes da função
são