Seja f(x)=c-x+3 se x<3 x-3 se x >= 3
a) f é contínua em 3? Por quê?
b) f é derivável em 3? Por quê?

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= -x+3, & x<3, x-3, & x>=3,
e pede para verificar continuidade e derivabilidade em x=3.
Conceitos usados:
  • f é contínua em a se limxto af(x)=f(a).
  • f é derivável em a se as derivadas laterais
    limhto0^-f(a+h)-f(a)h e
    limhto0^+f(a+h)-f(a)h existem e são iguais.

Passo 2

Calcular f(3) e os limites laterais:
f(3)=3-3=0,
limxto3^-f(x)=limxto3^-(-x+3)=-3+3=0,
limxto3^+f(x)=limxto3^+(x-3)=3-3=0
Como limxto3^-f(x)=limxto3^+f(x)=f(3)=0, f é contínua em 3.

Passo 3

Calcular as derivadas laterais em x=3:
Derivada à esquerda:
f'-(3)=limhto0^-f(3+h)-f(3)h =limhto0^-[-(3+h)+3]-0h =limhto0^--hh=-1
Derivada à direita:
f'+(3)=limhto0^+f(3+h)-f(3)h =limhto0^+[(3+h)-3]-0h =limhto0^+hh=1

Passo 4

Como f'-(3)=-1neq1=f'+(3), as derivadas laterais não coincidem, logo f não é derivável em 3.

Resposta

a) f é contínua em 3 pois limxto3f(x)=f(3)=0.
b) f não é derivável em 3 pois as derivadas laterais valem -1 e 1, diferentes.

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