O enunciado define uma função por partes: para x<1, f(x)=−x/2; para x≥1, f(x)=1/√x. A tarefa é verificar se f é contínua e derivável em x=1. Vamos usar limites laterais para continuidade e derivadas laterais para diferenciabilidade.
Passo 2
Para testar continuidade em x=1, precisamos calcular as duas retas limites e comparar com o valor de f(1). A definição diz que f é contínua em a se e somente se .
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda:
Passo 4
Calculando o limite pela direita e o valor em 1:
Passo 5
Como difere de , f não é contínua em x=1. Pela teoria, se não é contínua, não pode ser derivável.
Passo 6
Para ilustrar a derivada lateral (mesmo que a falta de continuidade já impeça a derivabilidade), derivamos cada ramo:
Pela esquerda:
Pela direita: f'+(1)=l(tfrac1raizxr)'l|x=1=-tfrac12x^3/2l|x=1=-tfrac12
Os decretos laterais coincidem, mas sem continuidade não há derivada no ponto.
Resposta
f não é contínua em x=1 e, consequentemente, não é derivável em x=1.