Seja f(x)=ccc-x2 & , & x<1 1raizx & , x >= 1 f é derivável em x=1 ? f é contínua em x=1 ?

Passo 1

O enunciado define uma função por partes: para x<1, f(x)=−x/2; para x≥1, f(x)=1/√x. A tarefa é verificar se f é contínua e derivável em x=1. Vamos usar limites laterais para continuidade e derivadas laterais para diferenciabilidade.

Passo 2

Para testar continuidade em x=1, precisamos calcular as duas retas limites e comparar com o valor de f(1). A definição diz que f é contínua em a se e somente se limxto a^-f(x)=limxto a^+f(x)=f(a).

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-l(-tfracx2r)=-tfrac12

Passo 4

Calculando o limite pela direita e o valor em 1:
limxto1^+f(x)=limxto1^+tfrac1raizx=1, f(1)=tfrac1raiz1=1

Passo 5

Como limxto1^-f(x)=-tfrac12 difere de limxto1^+f(x)=1, f não é contínua em x=1. Pela teoria, se não é contínua, não pode ser derivável.

Passo 6

Para ilustrar a derivada lateral (mesmo que a falta de continuidade já impeça a derivabilidade), derivamos cada ramo:
Pela esquerda: f'-(1)=l(-tfracx2r)'l|x=1=-tfrac12
Pela direita: f'+(1)=l(tfrac1raizxr)'l|x=1=-tfrac12x^3/2l|x=1=-tfrac12
Os decretos laterais coincidem, mas sem continuidade não há derivada no ponto.

Resposta

f não é contínua em x=1 e, consequentemente, não é derivável em x=1.

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