Seja
Substitua cada função trigonométrica por seu polinômio de Maclaurin de ordem três e repita o item (b).
Passo 1
Então, o exercício pede pra gente pegar a função
e substituir cada função trigonométrica pelo polinômio de Maclaurin de ordem 3. Depois, repetir o “item (b)”, que era calcular o limite de
quando
.
Conteúdo: série de Maclaurin (expansão de funções em polinômios próximos a zero). Vamos usar as fórmulas até o termo em .
Conteúdo: série de Maclaurin (expansão de funções em polinômios próximos a zero). Vamos usar as fórmulas até o termo em
Passo 2
Lembra das séries de Maclaurin até a ordem 3 para seno e cosseno:
Aqui o
indica termos de ordem maior que
, que a gente vai desprezar porque queremos só até a potência 3.
Passo 3
Agora substituímos na função:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Passo 4
Simplificando cada parte:
Numerador
Numerador
Denominador
Passo 5
Logo, pra
bem pequeno a função vira
Então o limite quando
(item b) usando essa aproximação de ordem três é
.