Seja
f(x)=x cos x-sen xx-sen x
Substitua cada função trigonométrica por seu polinômio de Maclaurin de ordem três e repita o item (b).

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente pegar a função
e substituir cada função trigonométrica pelo polinômio de Maclaurin de ordem 3. Depois, repetir o “item (b)”, que era calcular o limite de f(x)=xcos x-sen x,x-sen x, quando .
Conteúdo: série de Maclaurin (expansão de funções em polinômios próximos a zero). Vamos usar as fórmulas até o termo em .

Passo 2

Lembra das séries de Maclaurin até a ordem 3 para seno e cosseno:
Aqui o sen x = x - x^36 + o(x^3), cos x = 1 - x^22 + o(x^2) indica termos de ordem maior que , que a gente vai desprezar porque queremos só até a potência 3.

Passo 3

Agora substituímos na função:
Numerador:
Denominador:

Passo 4

Simplificando cada parte:
Numerador
x - x^32 - x + x^36 =;-x^32 + x^36 =;-;x^3l(tfrac12 - tfrac16r) =;-;x^3cdottfrac26 =;-,x^33
Denominador
x - x + x^36 =;x^36

Passo 5

Logo, pra f(x)approx-,x^33x^36 =;-13;div;16 =;-13times6 =;-2 bem pequeno a função vira
Então o limite quando (item b) usando essa aproximação de ordem três é .

Resposta

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