Seja f(x)=\frac{1}{x^{2}+4}. Determine os valores indicados sendo a um número real.
f\left(a^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4} e pede para determinar f\left(a^{2}\right), onde a é um número real.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}.
  • O ponto onde queremos avaliar é x=a^{2}.
  • a é um número real (ou seja, a\in\mathbb{R}).

Passo 2

Entendendo o que significa calcular f\left(a^{2}\right): avaliar f em x=a^{2} significa substituir a variável x por a^{2} na expressão da função. Portanto, escrevemos diretamente a substituição:
f\left(a^{2}\right)=\dfrac{1}{\left(a^{2}\right)^{2}+4}.

Passo 3

Explicando a regra de potências usada na simplificação: para quaisquer inteiros positivos m e n vale a regra
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}.
No caso particular com m=n=2, isso dá
\left(a^{2}\right)^{2}=a^{2\cdot 2}=a^{4}.
Uma maneira concreta de ver isso é pensar em multiplicação repetida: \left(a^{2}\right)^{2}=a^{2}\cdot a^{2}=a^{2+2}=a^{4}.

Passo 4

Aplicando a regra ao resultado do Passo 2, obtemos
f\left(a^{2}\right)=\dfrac{1}{a^{4}+4}.
Também é útil notar que a^{4}\ge 0 para todo a\in\mathbb{R}, logo a^{4}+4\ge 4>0. Isso garante que a expressão está bem definida (não há divisão por zero).

Passo 5

Para fixar a ideia, alguns exemplos numéricos rápidos:
  • Se a=0, então f\left(0^{2}\right)=\dfrac{1}{0^{4}+4}=\dfrac{1}{4}.
  • Se a=1, então f\left(1^{2}\right)=\dfrac{1}{1^{4}+4}=\dfrac{1}{5}.
  • Se a é grande em módulo, a^{4} cresce muito e f\left(a^{2}\right) fica bem pequeno (tende a 0 quando |a|\to\infty).

Resposta

\dfrac{1}{a^{4}+4}

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