Seja f(x)=\frac{1}{x^{2}+4}. Determine os valores indicados sendo a um número real.
f(\sqrt{a})

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4} e pede para calcular f(\sqrt{a}), onde a é um número real. Informações relevantes:
  • A expressão que temos que avaliar é f(\sqrt{a}).
  • Para que \sqrt{a} seja um número real é necessário que a\ge 0. Se a<0, a raiz quadrada principal \sqrt{a} não é real e, portanto, f(\sqrt{a}) não é definida como número real.
  • O denominador x^{2}+4 nunca se anula para x real, porque x^{2}\ge 0 implica x^{2}+4\ge 4>0. Logo não há risco de divisão por zero para argumentos reais.

Passo 2

Entender o que significa substituir x por \sqrt{a}. Quando se pede f(\sqrt{a}), substitui-se cada ocorrência de x em f(x) pela expressão \sqrt{a}. Portanto vamos calcular
f(\sqrt{a})=\frac{1}{\bigl(\sqrt{a}\bigr)^{2}+4}.
Antes de simplificar, lembre do fato básico sobre a raiz quadrada principal: para a\ge 0,
\bigl(\sqrt{a}\bigr)^{2}=a.
Isto decorre da definição da raiz quadrada principal: \sqrt{a} é o número não negativo cuja quadrado é a.

Passo 3

Aplicando a identidade \bigl(\sqrt{a}\bigr)^{2}=a na expressão obtida no passo anterior, temos
f(\sqrt{a})=\frac{1}{a+4}.

Passo 4

Verificação do domínio e observações finais:
  • A expressão \dfrac{1}{a+4} só corresponde ao valor de f(\sqrt{a}) quando \sqrt{a} é real, ou seja, quando a\ge 0.
  • Não há problema de divisão por zero porque, para a\ge 0, a+4\ge 4>0. Portanto a expressão está bem definida para todo a\ge 0.
  • Se a<0, então \sqrt{a} não é real e, portanto, f(\sqrt{a}) não está definida no conjunto dos números reais.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se a=9 (que satisfaz a\ge 0), então \sqrt{9}=3 e
f(\sqrt{9})=\frac{1}{9+4}=\frac{1}{13}.
Bora em frente — você já sabe o truque: substituir e usar (\sqrt{a})^{2}=a!

Resposta

\dfrac{1}{a+4} para a\ge 0.

Exercícios relacionados