Seja f(x)=\frac{1}{x}-x^{3}, x>0.
(a) Mostre que f tem inversa em ( 0, \infty );
(b) Calcule f^{-1}(0) e \left(f^{-1}\right)^{\prime}(0);
(c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f^{-1} no ponto \left(0, f^{-1}(0)\right).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\frac{1}{x}-x^{3},\quad x>0
e pede:
(a) mostrar que f é invertível em (0,\infty);
(b) achar f^{-1}(0) e \bigl(f^{-1}\bigr)^{\prime}(0);
(c) encontrar a reta tangente ao gráfico de f^{-1} no ponto \bigl(0,f^{-1}(0)\bigr).
Para isso vamos usar: monotonicidade via derivada, limites para a imagem, fórmula da derivada da inversa e equação da reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\tfrac1x - x^3\Bigr) =-\frac{1}{x^2}-3x^2.
Como para todo x>0 temos -1/x^2<0 e -3x^2<0, segue
f'(x)<0\quad\forall x>0,
ou seja, f é estritamente decrescente, logo injetiva.

Passo 3

Para ver que f é sobrejetiva em \mathbb{R}, examinamos os extremos do domínio:
quando x\to0^+, \tfrac1x\to+\infty e -x^3\to0, então f(x)\to+\infty;
quando x\to+\infty, \tfrac1x\to0 e -x^3\to-\infty, então f(x)\to-\infty.
Assim \displaystyle f((0,\infty))=\mathbb{R} e f é bijetiva, logo invertível.

Passo 4

Para achar f^{-1}(0) resolvemos
\frac{1}{x}-x^{3}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}=x^{3} \;\Longrightarrow\; x^{4}=1 \;\Longrightarrow\; x=1\quad(x>0).
Portanto
f^{-1}(0)=1.

Passo 5

Usamos a fórmula da derivada da inversa: se y=f(x) e f'(x)\neq0, então
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y) =\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.
Em particular, em y=0 temos f^{-1}(0)=1 e
f'(1) =-\frac{1}{1^2}-3\cdot1^2 =-1-3 =-4.
Logo
\bigl(f^{-1}\bigr)'(0) =\frac{1}{f'(1)} =\frac{1}{-4} =-\frac{1}{4}.

Passo 6

A reta tangente ao gráfico de f^{-1} em \bigl(0,\,1\bigr) tem coeficiente angular \displaystyle m=\bigl(f^{-1}\bigr)'(0)=-\tfrac14
e passa por (x_0,y_0)=(0,1). Sua equação é
y - 1 =-\tfrac{1}{4}(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y=-\tfrac{1}{4}x+1.

Resposta

(a) f é estritamente decrescente em (0,\infty) (pois f'(x)<0) e cobre \mathbb{R}, logo é invertível.
(b) f^{-1}(0)=1 e \bigl(f^{-1}\bigr)'(0)=-\tfrac{1}{4}.
(c) A reta tangente é
y=-\tfrac{1}{4}x+1.

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