Seja
.
(a) Mostre que
tem inversa em (
);
(b) Calcule
e
;
(c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
(a) Mostre que
(b) Calcule
(c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado define
e pede:
(a) mostrar que é invertível em
;
(b) achar e
;
(c) encontrar a reta tangente ao gráfico de no ponto
.
Para isso vamos usar: monotonicidade via derivada, limites para a imagem, fórmula da derivada da inversa e equação da reta tangente.
(a) mostrar que
(b) achar
(c) encontrar a reta tangente ao gráfico de
Para isso vamos usar: monotonicidade via derivada, limites para a imagem, fórmula da derivada da inversa e equação da reta tangente.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Como para todo
temos
e
, segue
ou seja,
é estritamente decrescente, logo injetiva.
Passo 3
Para ver que
é sobrejetiva em
, examinamos os extremos do domínio:
quando ,
e
, então
;
quando ,
e
, então
.
Assim e
é bijetiva, logo invertível.
quando
quando
Assim
Passo 4
Para achar
resolvemos
Portanto
Passo 5
Usamos a fórmula da derivada da inversa: se
e
, então
Em particular, em
temos
e
Logo
Passo 6
A reta tangente ao gráfico de
em
tem coeficiente angular
e passa por . Sua equação é
e passa por
Resposta
(a)
é estritamente decrescente em
(pois
) e cobre
, logo é invertível.
(b) e
(c) A reta tangente é
(b)
(c) A reta tangente é