Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-x^{3}, & x \leq 0 \\\\ 1-x^{2}, & x>0\end{array} \quad\right.. Se f^{-1} existir, calcule f^{-1}(x).
Passo 1
O enunciado define
f(x)= \begin{cases} 1 - x^{3}, & x \le 0,\\\\ 1 - x^{2}, & x > 0, \end{cases}
e pede f^{-1}, supondo que exista. Vamos primeiro verificar que f é injetora (monótona estritamente decrescente) e sobrejetora em \mathbb{R}, depois inverter cada ramo.
Passo 2
Analisamos a derivada em cada região para ver monotonicidade:
Para x<0,
f'(x)=\frac{d}{dx}(1 - x^{3})=-3x^{2}\le0,
com igualdade só em x=0. Para x>0,
f'(x)=\frac{d}{dx}(1 - x^{2})=-2x<0.
Logo f é decrescente em (-\infty,0) e em (0,\infty), e contínua em x=0, sendo globalmente estritamente decrescente.
Passo 3
Como \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, a imagem de f é \mathbb{R}. A monotonia estrita garante injetividade, e a cobertura de todos os reais garante sobrejetividade. Portanto f é bijetora e f^{-1} existe.
Passo 4
Para inverter o ramo x\le0, escrevemos
y = 1 - x^{3} \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=1-y \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[\,3]{\,1-y\,}.
Nesse ramo x\le0, a imagem é y\ge1, pois em x=0 obtemos y=1 e para x\to-\infty temos y\to+\infty.
Passo 5
Para inverter o ramo x>0, escrevemos
y = 1 - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1-y \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{\,1-y\,},
escolhendo o sinal positivo para garantir x>0. Aqui a imagem é y<1, pois em x\to0^+ temos y\to1 e em x\to+\infty temos y\to-\infty.
Passo 6
Juntando as duas inversões e seus domínios, obtemos