Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
.
b) Use o item a) para mostrar que
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
b) Use o item a) para mostrar que
Passo 1
O enunciado define
como a extensão
-periódica de
em
. Pede em (a) a série de Fourier de
e em (b) usar essa série para calcular
. Para resolver vamos usar as fórmulas usuais de coeficientes de Fourier em período
, aproveitando que
é par (logo só aparecem termos em
) e aplicar integração por partes.
Passo 2
Calcular o coeficiente
.
O termo constante na série é
.
Passo 3
Calcular
para
. Como
é par,
e
Fazendo integração por partes com
,
, obtemos
Logo
Passo 4
Analisando
:
- Se
é par, e . - Se
é ímpar, escrevemos e , daí
Portanto a série de Fourier fica
Passo 5
Para calcular
basta avaliar a série em
. Temos
e a soma de Fourier converge para
. Assim
de onde
Resposta
(a)
(b)
(b)