Seja f(x) função 2 \pi-periódica dada por f(x)=|x| se x \in(-\pi, \pi).
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por S_{f}(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}} \cos (2 n-1) x.
b) Use o item a) para mostrar que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}.

Passo 1

O enunciado define f como a extensão 2\pi-periódica de f(x)=|x| em -\pi<x<\pi. Pede em (a) a série de Fourier de f e em (b) usar essa série para calcular \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}. Para resolver vamos usar as fórmulas usuais de coeficientes de Fourier em período 2\pi, aproveitando que f é par (logo só aparecem termos em \cos(nx)) e aplicar integração por partes.

Passo 2

Calcular o coeficiente a_{0}.
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\,dx =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{2}}{2} =\pi.
O termo constante na série é a_{0}/2=\pi/2.

Passo 3

Calcular a_{n} para n\ge1. Como f é par, b_{n}=0 e
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes com u=x, dv=\cos(nx)\,dx, obtemos
\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =\left[\frac{x\sin(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi} -\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx =\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}.
Logo
a_{n} =\frac{2}{\pi}\,\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}.

Passo 4

Analisando a_{n}:
  • Se n é par, (-1)^{n}=1 e a_{n}=0.
  • Se n é ímpar, escrevemos n=2k-1 e (-1)^{n}=-1, daí a_{2k-1} =\frac{2}{\pi}\,\frac{-2}{(2k-1)^{2}} =-\frac{4}{\pi(2k-1)^{2}}.
Portanto a série de Fourier fica
S_{f}(x) =\frac{a_{0}}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}\cos\bigl((2k-1)x\bigr) =\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2n-1)x\bigr)}{(2n-1)^{2}}.

Passo 5

Para calcular \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}} basta avaliar a série em x=0. Temos f(0)=0 e a soma de Fourier converge para \frac{f(0^{+})+f(0^{-})}{2}=0. Assim
0=S_{f}(0) =\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}},
de onde
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}} =\frac{\pi^{2}}{8}.

Resposta

(a) \displaystyle S_{f}(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2n-1)x\bigr)}{(2n-1)^{2}}.
(b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}.

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