Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
.
b) Use o item a) para mostrar que
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
b) Use o item a) para mostrar que
Passo 1
O enunciado define a função
periódica de período
dada em
por
Queremos (a) obter sua série de Fourier
e mostrar que ela fica
No item (b) vamos usar esse resultado para calcular
.
Passo 2
Calculamos os coeficientes de Fourier pela definição
-
:
logo
-
: separamos
.
A primeira integral é zero por simetria. A segunda, por partes, também dá zero (os termos emse anulam nas fronteiras e sobra integral de que é zero). Logo
-
:
A primeira parte é zero por simetria. Na segunda, por partes com
,
, obtemos
Então
Passo 3
Substituindo em
temos
,
e
. Logo
Passo 4
Escolhemos
. Como
é contínua em
, vale
.
De um lado
De um lado
Do outro, na série
Só sobram os termos de
ímpar, escrevendo
. Note que
e
.
Então
Então
Igualando
dá
logo
Mas o enunciado pede
, que é
Resposta
(a)
(b)
(b)