Sejam as funções abaixo:
i) f(x)=25, para x \in[0, \pi]
ii) f(x)=\operatorname{sen} x, para x \in[0, \pi]
iii) f(x)=x^{2}, para x \in[0, \pi]
iv) f(x)=\cos x, para x \in[0, \pi].
v) f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \text { se } 0 \leq x \leq \pi / 2 \\\ \pi-x, \text { se } \pi / 2<x<\pi\end{array}\right.
vi) f(x)=|2 x-\pi|, para x \in(0, \pi).
vii) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
viii) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das funções
i) f(x)=25\) ii) \(f(x)=\sin x\) iii) \(f(x)=x^{2}\) iv) \(f(x)=\cos x\) v) \(f(x)=\begin{cases}x,&0\le x\le\pi/2,\\pi-x,&\pi/2<x<\pi,\end{cases}
vi) f(x)=|2x-\pi|,
definidas em [0,\pi], que escrevamos
vii) as séries de Fourier em senos (meia-faixa ímpar), e
viii) as séries de Fourier em cossenos (meia-faixa par).
Para cada caso iremos usar as fórmulas gerais de meia-faixa em [0,\pi]:
  • Série em senos:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin(nx), \quad b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\,\sin(nt)\,\mathrm{d}t.
  • Série em cossenos:
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\,\cos(nx), \quad a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\,\cos(nt)\,\mathrm{d}t.

Passo 2

(i) f(x)=25.
  • Coeficientes em senos:
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}25\sin(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{50}{\pi}\,\frac{1-(-1)^{n}}{n}.
Logo b_{n}=0 se n é par, e b_{n}=\tfrac{100}{\pi\,n} se n é ímpar.
  • Coeficientes em cossenos:
a_{0}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}25\,\mathrm{d}x=50, \quad a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}25\cos(nx)\,\mathrm{d}x=0\quad(\forall n\ge1).

Passo 3

(ii) f(x)=\sin x\). - Em senos: \[b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(nx)\,\mathrm{d}x =\begin{cases} 1,&n=1,\\\\ 0,&n\ne1, \end{cases}
ou seja a série em senos reproduz exatamente (\sin x].
  • Em cossenos:
a_{0}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=\frac{4}{\pi},
a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,\mathrm{d}x =\begin{cases} 0,&n\text{ ímpar},\\\\ -\dfrac{8}{\pi(4k^{2}-1)},&n=2k. \end{cases}í

Passo 4

(iii) f(x)=x^{2}.
  • Em senos:
b_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(nx)\,\mathrm{d}x = \frac{2\pi(-1)^{n+1}}{n} \;+\;\frac{4\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{\pi\,n^{3}}.
  • Em cossenos:
a_{0} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\,\mathrm{d}x =\frac{2\pi^{2}}{3}, \quad a_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,\mathrm{d}x \quad(\text{expressão obtida por partes}).ã

Passo 5

(iv) f(x)=\cos x.
  • Em senos:
b_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos x\sin(nx)\,\mathrm{d}x =\begin{cases} 0,&n\text{ ímpar},\\\\ -\dfrac{4}{\pi(4k^{2}-1)},&n=2k. \end{cases}í
  • Em cossenos:
a_{0} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos x\,\mathrm{d}x=0, \quad a_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos x\cos(nx)\,\mathrm{d}x =\begin{cases} 1,&n=1,\\\\ 0,&n\ne1. \end{cases}

Passo 6

(v) f(x)=\begin{cases}x,&0\le x\le\frac\pi2,\\pi-x,&\frac\pi2<x<\pi.\end{cases}
  • Em senos:
b_{n} =\frac{2}{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\pi/2}x\sin(nx)\,\mathrm{d}x +\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x\Bigr],
que, após cálculo por partes, dá
b_{n} =\frac{4}{\pi\,n^{2}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)\sin\!\tfrac{n\pi}{2}.
  • Em cossenos:
a_{n} =\frac{2}{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\pi/2}x\cos(nx)\,\mathrm{d}x +\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x\Bigr],
expressão que também se obtém por partes.

Passo 7

(vi) f(x)=|2x-\pi|.
  • Em senos:
b_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}|2x-\pi|\sin(nx)\,\mathrm{d}x,
dividindo em [0,\tfrac\pi2] e [\tfrac\pi2,\pi].
  • Em cossenos:
a_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}|2x-\pi|\cos(nx)\,\mathrm{d}x.

Resposta

Para cada função acima escrevemos a meia-faixa em senos
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nx), \quad b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt,
e a meia-faixa em cossenos
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx), \quad a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt.
Para cada item (i)–(vi) foram apresentadas acima as fórmulas fechadas de b_{n} e a_{n}.

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