Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
f(x)=\cos ^{3} x

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi da função
f(x)=\cos^3 x.
Como a função é 2\pi-periódica e inteira (não apresenta descontinuidades), vamos usar as fórmulas de série de Fourier em [-\pi,\pi]. Além disso, observaremos que f é par, o que simplifica bastante (os termos de seno serão todos zero).

Passo 2

Por f ser par, temos
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \cos^3 x\;\sin(nx)\,dx=0 \quad\text{para todo }n\ge1.
O coeficiente a_0 vale
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^3 x\,dx.
Como \cos^3 x é função par, isso é
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos^3 x\,dx
e usando \cos^3 x=\cos x\,(1-\sin^2 x) vemos que esse integral dá zero (cada termo isola-se em integrals nulas em [0,\pi]). Logo a_0=0.

Passo 3

Para determinar os outros coeficientes, em vez de integrar diretamente, usamos a identidade de ângulo triplo:
\cos(3x)=4\cos^3 x-3\cos x \quad\Longrightarrow\quad \cos^3 x=\frac{\cos(3x)+3\cos x}{4}.
Isso mostra que a expansão de \cos^3 x em soma de cossenos é imediata.

Resposta

f(x)=\cos^3 x =\frac{3}{4}\cos x+\frac{1}{4}\cos(3x),
ou seja, na forma de série de Fourier de período 2\pi, temos
a_1=\tfrac{3}{4},\quad a_3=\tfrac{1}{4},
todos os outros a_n=0 (para n\neq1,3) e b_n=0.

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