Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
f(x)=3 x-x^{2}, se x \in[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi para a função
f(x)=3x - x^{2},\quad x\in[0,2\pi].
O que precisamos é usar as fórmulas dos coeficientes para série de Fourier em torno de zero:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular a_{0}.
\int_{0}^{2\pi}(3x - x^{2})\,dx =3\int_{0}^{2\pi}x\,dx \;-\;\int_{0}^{2\pi}x^{2}\,dx =3\cdot\frac{(2\pi)^{2}}{2}-\frac{(2\pi)^{3}}{3} =6\pi^{2}-\frac{8\pi^{3}}{3}.
Logo
a_{0}=\frac{1}{\pi}\Bigl(6\pi^{2}-\frac{8\pi^{3}}{3}\Bigr) =6\pi-\frac{8\pi^{2}}{3},
e o termo constante da série é a_{0}/2=3\pi-\tfrac{4\pi^{2}}{3}.

Passo 3

Calcular a_{n}.
Primeiro note que
\int_{0}^{2\pi}x\cos(nx)\,dx=0
por integração por partes (o termo de fronteira e a integral remanescente anulam-se).
Depois,
\int_{0}^{2\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx =4\pi\,\frac{1}{n^{2}}
também por duas integrações por partes.
Assim
a_{n} =\frac{1}{\pi}\Bigl[\,3\cdot0 \;-\;\frac{4\pi}{n^{2}}\Bigr] =-\frac{4}{n^{2}}.

Passo 4

Calcular b_{n}.
De novo por partes encontra-se
\int_{0}^{2\pi}x\sin(nx)\,dx=-\frac{2\pi}{n}, \qquad \int_{0}^{2\pi}x^{2}\sin(nx)\,dx=-\frac{4\pi^{2}}{n}.
Logo
b_{n} =\frac{1}{\pi}\Bigl[\,3\Bigl(-\frac{2\pi}{n}\Bigr)\;-\;\Bigl(-\frac{4\pi^{2}}{n}\Bigr)\Bigr] =\frac{4\pi-6}{n}.

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier fica
f(x) = \frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\Bigr) =3\pi-\frac{4\pi^{2}}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{4}{n^{2}}\cos(nx)+\frac{4\pi-6}{n}\sin(nx)\Bigr).

Resposta

f(x) =3\pi-\frac{4\pi^{2}}{3} -4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^{2}} +(4\pi-6)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}.

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