Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)=8^{x^{5}+3 x^{2}+4 x}
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto correspondente a x_{0}=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida em \mathbb{R}:
f(x)=8^{x^{5}+3x^{2}+4x}.
Pede-se a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto correspondente a x_{0}=2.
Informações relevantes que vamos usar:
  • O ponto de tangência tem abscissa x_{0}=2.
  • Para escrever a reta tangente precisamos de dois dados: o valor da função em x_{0}, isto é f(2), e a derivada da função em x_{0}, isto é f'(2).
    Nada mais é pedido.

Passo 2

Calcular f(2).
Primeiro calculemos o expoente em x=2:
x^{5}+3x^{2}+4x\Big|_{x=2}=2^{5}+3\cdot2^{2}+4\cdot2.
Calculemos termo a termo:
2^{5}=32,\qquad 3\cdot2^{2}=3\cdot4=12,\qquad 4\cdot2=8.
Somando:
32+12+8=52.
Portanto
f(2)=8^{52}.
Observação: o número é enorme, por isso mantemos a forma exponencial simbólica 8^{52}.

Passo 3

Encontrar a derivada f'(x) (aqui explico a regra utilizada).
Regra que vamos usar: para uma função da forma a^{u(x)} com a>0 constante e u(x) diferenciável, uma forma conveniente é reescrever
a^{u(x)}=e^{u(x)\ln a}.
Derivando usando a regra da cadeia (derivada de e^{v(x)} é e^{v(x)}v'(x)) obtemos
\frac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).
Explicando a cadeia de forma simples: primeiro derivamos o expoente composto v(x)=u(x)\ln a (isso dá v'(x)=u'(x)\ln a), depois multiplicamos pelo e^{v(x)} que é igual a a^{u(x)}.
No nosso caso a=8 e u(x)=x^{5}+3x^{2}+4x. Usamos também a regra do poder (derivada de x^n é n x^{n-1}) para obter u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)+\frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(4x\big)=5x^{4}+6x+4.
Portanto, aplicando a fórmula:
f'(x)=8^{x^{5}+3x^{2}+4x}\,\ln(8)\,(5x^{4}+6x+4).

Passo 4

Avaliar f'(x) em x_{0}=2.
Calculamos primeiro 5x^{4}+6x+4 em x=2:
5\cdot2^{4}+6\cdot2+4=5\cdot16+12+4=80+12+4=96.
Usando também o resultado de f(2)=8^{52} (pois o expoente em x=2 é 52), temos
f'(2)=8^{52}\,\ln(8)\cdot96.
Podemos reescrever \ln(8) como \ln(2^{3})=3\ln(2) se quisermos:
f'(2)=96\cdot\ln(8)\,8^{52}=288\ln(2)\,8^{52}.
Ambas as formas são equivalentes; a forma mais direta é f'(2)=96\ln(8)\,8^{52}.

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente.
Fórmula da reta tangente (forma ponto-declive ou linearização) no ponto x_{0}:
y=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=2, f(2)=8^{52} e f'(2)=96\ln(8)\,8^{52}, obtemos
y=8^{52}+96\ln(8)\,8^{52}\,(x-2).
Podemos fatorar 8^{52} se desejar uma aparência mais compacta:
y=8^{52}\Big(1+96\ln(8)\,(x-2)\Big).

Resposta

y=8^{52}+96\ln(8)\,8^{52}\,(x-2).

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