Seja
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de
a qual é paralela à reta de equação
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: obter a equação da reta tangente ao gráfico de
que é paralela à reta de equação
Informações relevantes fornecidas:
- A reta dada tem coeficiente angular
(porque a forma é ). - A tangente procurada deve ter o mesmo coeficiente angular
. - A função
só está definida onde ; isso limita os possíveis para pontos de tangência.
Passo 2
Determinar o domínio de
(onde o logaritmo existe). A condição é
Fatorando:
A desigualdade
é satisfeita quando
ou
. Portanto o domínio é
Isso é importante: qualquer solução para a abscissa do ponto de tangência deve pertencer a esse domínio.
Passo 3
Calcular a derivada
para obter o coeficiente angular da reta tangente em um ponto
. Lembrete rápido (cadeia de ideias):
- Se
, então . Aqui . - Derivada de
é .
Aplicando isso:
Podemos fatorar para simplificar a leitura:
Cada símbolo:
é a taxa de variação instantânea de
em
;
é simplesmente
.
Passo 4
Como a reta tangente procurada deve ser paralela à reta
, o coeficiente angular da tangente deve ser
. Portanto resolvemos
Substituindo a expressão de
:
Resolver essa equação passo a passo:
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que isso só faz sentido se
estiver no domínio, depois checamos isso):
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Subtrair
de ambos os lados:
Portanto
Passo 5
Verificar quais soluções pertencem ao domínio de
: o domínio exige
ou
.
-
satisfaz , logo é aceitável. -
tem , que está entre e ; portanto não pertence ao domínio e deve ser descartado.
Assim a abscissa do ponto de tangência é
Passo 6
Calcular a ordenada
. Substituindo
em
:
Podemos deixar assim ou factorar
:
Mas para a equação da reta é suficiente usar
.
A equação da reta tangente em
com coeficiente angular
vem da fórmula ponto-reta:
Substituindo
,
e
:
Isolando
:
Passo 7
Checagem rápida (numérica) para ter confiança:
-
. -
, então . - Assim o termo independente fica
.
A reta aproximada é, que tem coeficiente angular e passa pelo ponto calculado, então faz sentido.