Determine a série de Fourier da função (descontínua!) periódica de período
com
. Note que
.
A partir do resultado, mostre que:
A partir do resultado, mostre que:
Passo 1
O enunciado dá a função periódica de período
definida em
, e pede duas coisas:
- Determinar a série de Fourier de
(ou seja, os coeficientes e a soma em série). - A partir desse resultado, mostrar a identidade
Informações relevantes fornecidas:
- A função no intervalo fundamental é
. - O parâmetro
não é inteiro (portanto para quando necessário).
A resolução começa calculando os coeficientes da série de Fourier padrão eme depois usando um valor de e de para obter a soma pedida.
Passo 2
Lembrando a fórmula da série de Fourier em
: para uma função
integrável definem-se
A série de Fourier é
Vamos calcular
para
. Vou usar a identidade produto-para-soma útil:
Também usarei que, para
,
porque
é função ímpar.
Passo 3
Cálculo de
:
Portanto
Explicando: a integral de
é
; a diferença entre os limites dá
porque
.
Passo 4
Cálculo de
para
. Usando a identidade produto-para-soma:
Logo
Usando
obtemos
Agora simplificamos
. Como
é inteiro,
, porque
. E
. Assim
Substituindo:
Somando as frações dentro do parêntese:
Portanto
Passo 5
Cálculo de
. Usando a identidade para
:
Cada seno é função ímpar, logo a integral simétrica sobre
é zero:
Resumo dos coeficientes:
,
,
.
Passo 6
Escrevendo a série de Fourier (soma sobre cossenos apenas):
onde a série converge (pelo teorema de Fourier) para o valor médio dos limites lateral da função periódica estendida. Para manipular de forma conveniente, multiplico ambos os lados por
(lembre que
pois
):
Esta fórmula é muito útil e será usada em seguida.
Passo 7
Obtenção da identidade para
. Escolhendo
na igualdade acima, nota-se que
, de modo que o fator
para todo
. Assim
Mas
. Logo obtemos a expansão conhecida
Passo 8
Derivando a soma numérica pedida. Escolha
. Então
e
. Substituindo em
obtemos
Calculando
e
, temos
Agora note que
Substituindo isso na soma:
Isolando a soma:
dividindo por
:
Multiplicando ambos lados por
e rearranjando, obtemos a fórmula desejada: