Determine a série de Fourier da função (descontínua!) periódica de período 2 \pi
f(x)=\cos (p x), \quad p \notin \mathbb{Z}
com -\pi \leq x \leq \pi. Note que p \neq 0, \pm 1, \pm 2, \ldots.
A partir do resultado, mostre que:
\frac{\pi}{4}=1-2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{16 n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 2\pi
f(x)=\cos(p x),\qquad p\notin\mathbb{Z},
definida em -\pi\le x\le\pi, e pede duas coisas:
  • Determinar a série de Fourier de f (ou seja, os coeficientes a_0,a_n,b_n e a soma em série).
  • A partir desse resultado, mostrar a identidade
\frac{\pi}{4}=1-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{16n^{2}-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função no intervalo fundamental é f(x)=\cos(p x).
  • O parâmetro p não é inteiro (portanto p\pm n\neq 0 para n\in\mathbb{Z} quando necessário).
    A resolução começa calculando os coeficientes da série de Fourier padrão em [-\,\pi,\pi] e depois usando um valor de x e de p para obter a soma pedida.

Passo 2

Lembrando a fórmula da série de Fourier em [-\,\pi,\pi]: para uma função f integrável definem-se
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad (n\ge1).
A série de Fourier é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
Vamos calcular a_0,a_n,b_n para f(x)=\cos(p x). Vou usar a identidade produto-para-soma útil:
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr), \qquad \sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).
Também usarei que, para k\neq0,
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\frac{2\sin(k\pi)}{k}, \qquad \int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\,dx=0,
porque \sin(kx) é função ímpar.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p x)\,dx =\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin(p x)}{p}\right]_{-\pi}^{\pi} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\sin(p\pi)}{p}.
Portanto
\frac{a_0}{2}=\frac{\sin(p\pi)}{\pi p}.
Explicando: a integral de \cos(p x) é \sin(p x)/p; a diferença entre os limites dá 2\sin(p\pi)/p porque \sin(-p\pi)=-\sin(p\pi).

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1. Usando a identidade produto-para-soma:
\cos(p x)\cos(n x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((p-n)x)+\cos((p+n)x)\bigr).
Logo
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p x)\cos(n x)\,dx =\frac{1}{\pi}\cdot\tfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(\cos((p-n)x)+\cos((p+n)x)\bigr)\,dx.
Usando \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\dfrac{2\sin(k\pi)}{k} obtemos
a_n=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\sin((p-n)\pi)}{p-n}+\frac{\sin((p+n)\pi)}{p+n}\right).
Agora simplificamos \sin((p\pm n)\pi). Como n é inteiro, \sin((p\pm n)\pi)=\sin(p\pi)\cos(n\pi)+\cos(p\pi)\sin(n\pi)=\sin(p\pi)\cos(n\pi), porque \sin(n\pi)=0. E \cos(n\pi)=(-1)^n. Assim
\sin((p\pm n)\pi)=(-1)^n\sin(p\pi).
Substituindo:
a_n=\frac{1}{\pi}(-1)^n\sin(p\pi)\left(\frac{1}{p-n}+\frac{1}{p+n}\right).
Somando as frações dentro do parêntese:
\frac{1}{p-n}+\frac{1}{p+n}=\frac{(p+n)+(p-n)}{p^2-n^2}=\frac{2p}{p^2-n^2}.
Portanto
a_n=\frac{2p\sin(p\pi)(-1)^n}{\pi(p^2-n^2)}\qquad (n\ge1).

Passo 5

Cálculo de b_n. Usando a identidade para \cos(p x)\sin(n x):
\cos(p x)\sin(n x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((n+p)x)+\sin((n-p)x)\bigr).
Cada seno é função ímpar, logo a integral simétrica sobre [-\,\pi,\pi] é zero:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p x)\sin(n x)\,dx=0\qquad (n\ge1).
Resumo dos coeficientes: \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{\sin(p\pi)}{\pi p}, a_n=\dfrac{2p\sin(p\pi)(-1)^n}{\pi(p^2-n^2)}, b_n=0.

Passo 6

Escrevendo a série de Fourier (soma sobre cossenos apenas):
\cos(p x)=\frac{\sin(p\pi)}{\pi p}+\sum_{n=1}^\infty\frac{2p\sin(p\pi)(-1)^n}{\pi(p^2-n^2)}\cos(nx),
onde a série converge (pelo teorema de Fourier) para o valor médio dos limites lateral da função periódica estendida. Para manipular de forma conveniente, multiplico ambos os lados por \dfrac{\pi}{\sin(p\pi)} (lembre que \sin(p\pi)\neq0 pois p\notin\mathbb{Z}):
\frac{\pi}{\sin(p\pi)}\cos(p x)=\frac{1}{p}+2p\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\cos(nx)}{p^2-n^2}.
Esta fórmula é muito útil e será usada em seguida.

Passo 7

Obtenção da identidade para \cot. Escolhendo x=\pi na igualdade acima, nota-se que \cos(n\pi)=(-1)^n, de modo que o fator (-1)^n\cos(n\pi)=1 para todo n. Assim
\frac{\pi}{\sin(p\pi)}\cos(p\pi)=\frac{1}{p}+2p\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{p^2-n^2}.
Mas \dfrac{\cos(p\pi)}{\sin(p\pi)}=\cot(p\pi). Logo obtemos a expansão conhecida
\pi\cot(p\pi)=\frac{1}{p}+2p\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{p^2-n^2}.

Passo 8

Derivando a soma numérica pedida. Escolha p=\tfrac{1}{4}. Então \cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1 e p^2=\tfrac{1}{16}. Substituindo em \pi\cot(p\pi)=\dfrac{1}{p}+2p\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{p^2-n^2} obtemos
\pi\cdot 1=\frac{1}{1/4}+2\cdot\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\tfrac{1}{16}-n^2}.
Calculando \dfrac{1}{1/4}=4 e 2\cdot\frac{1}{4}=\tfrac{1}{2}, temos
\pi=4+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\tfrac{1}{16}-n^2}.
Agora note que
\frac{1}{\tfrac{1}{16}-n^2}=\frac{1}{\;\dfrac{1-16n^2}{16}\;}=\frac{16}{1-16n^2}=-\frac{16}{16n^2-1}.
Substituindo isso na soma:
\pi=4+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{16}{16n^2-1}\right) =4-8\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{16n^2-1}.
Isolando a soma:
8\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{16n^2-1}=4-\pi,
dividindo por 8:
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{16n^2-1}=\frac{4-\pi}{8}=\frac{1}{2}\Bigl(1-\frac{\pi}{4}\Bigr).
Multiplicando ambos lados por 2 e rearranjando, obtemos a fórmula desejada:
\frac{\pi}{4}=1-2\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{16n^2-1}.

Resposta

\cos(p x)=\frac{\sin(p\pi)}{\pi p}+\sum_{n=1}^\infty\frac{2p\sin(p\pi)(-1)^n}{\pi(p^2-n^2)}\cos(nx),\qquad (p\notin\mathbb{Z})
\frac{\pi}{4}=1-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{16n^{2}-1}

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