Seja f(x)=raizx+8.
Calcule a equaçảo da reta tangente ao gráfico de f em (1, f(1)).

Passo 1

Beleza! A gente tem a função $ f(x) = \sqrt{x + 8} $ e precisa encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto onde $ x = 1 $, ou seja, no ponto $ (1, f(1)) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação (ou seja, o coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(1) $ para saber as coordenadas do ponto de tangência. Substituindo $ x = 1 $ na função:
f(1)
Então, o ponto de tangência é $ (1, 3) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A função é $ f(x) = \sqrt{x + 8} $, que pode ser escrita como $ f(x) = (x + 8)^{1/2} $.
Vamos aplicar a regra da potência para derivadas:
f(x)

Passo 4

Com a derivada $ f’(x) $ encontrada, vamos calcular $ f’(1) $ para achar a inclinação da reta tangente no ponto $ (1, 3) $:
f'(x)
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{1}{6} $.

Passo 5

Agora que temos o ponto $ (1, 3) $ e a inclinação $ m = \frac{1}{6} $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
(1, 3)
Substituindo os valores:
m = 16

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = 16x + 176

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