Seja
.
Calcule a equaçảo da reta tangente ao gráfico de
em
.
Calcule a equaçảo da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza! A gente tem a função $ f(x) = \sqrt{x + 8} $ e precisa encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto onde $ x = 1 $, ou seja, no ponto $ (1, f(1)) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação (ou seja, o coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(1) $ para saber as coordenadas do ponto de tangência. Substituindo $ x = 1 $ na função:
Então, o ponto de tangência é $ (1, 3) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A função é $ f(x) = \sqrt{x + 8} $, que pode ser escrita como $ f(x) = (x + 8)^{1/2} $.
Vamos aplicar a regra da potência para derivadas:
Passo 4
Com a derivada $ f’(x) $ encontrada, vamos calcular $ f’(1) $ para achar a inclinação da reta tangente no ponto $ (1, 3) $:
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{1}{6} $.
Passo 5
Agora que temos o ponto $ (1, 3) $ e a inclinação $ m = \frac{1}{6} $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é: