(2.) Sejam
e
. A fim de que exista
é suficiente que, para toda seqüência de pontos
com
, a seqüência
seja convergente.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
e um ponto de acumulação
. Queremos provar que, se para toda sequência
com
a sequência
é convergente, então o limite
existe no sentido
–
. Para isso vamos (
) mostrar que toda sequência que converge a
impõe o mesmo valor limite
em
, e (
) usar essa unicidade para derivar a condição
–
da definição de limite de função.
Passo 2
Suponha que existem duas sequências
e
em
com
e
. Pelas hipóteses,
e
são convergentes, digamos para
e
. Definimos uma sequência intercalada
Então
, logo
converge, digamos para
. Mas as subsequências ímpar e par de
são exatamente
e
, que então também convergem para
. Concluímos
e
. Portanto todo sequência que se aproxima de
obriga
para o mesmo
.
Passo 3
Agora definimos
como esse valor comum de todos os limites
. Para provar
no sentido
–
, procedemos por contradição. Se não existisse
tal que
então existiria algum
tal que, para cada
, podemos escolher um ponto
com
Por construção
, mas
não pode convergir a
(pois fica sempre a uma distância
). Isso contraria a hipótese de que toda sequência convergente a
faz
convergir. Logo a hipótese contrária é falsa e o critério
–
se satisfaz.
Resposta
Pelo passo
, existe um único valor
tal que toda sequência
implica
. Pelo passo
, esse
satisfaz justamente a definição
–
de
. Assim, a condição sequencial dada é suficiente para garantir que
existe.