(2.) Sejam f: X \rightarrow \mathbb{R} e a \in X^{\prime}. A fim de que exista \lim _{x \rightarrow a} f(x) é suficiente que, para toda seqüência de pontos x_{n} \in X-\{a\} com \lim x_{n}=a, a seqüência \left(f\left(x_{n}\right)\right) seja convergente.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f\colon X\to\mathbb{R} e um ponto de acumulação a\in X'. Queremos provar que, se para toda sequência \{x_n\}\subset X\setminus\{a\} com \lim x_n=a a sequência \bigl(f(x_n)\bigr) é convergente, então o limite \lim_{x\to a}f(x) existe no sentido \epsilon \delta. Para isso vamos ( 1) mostrar que toda sequência que converge a a impõe o mesmo valor limite L em f(x_n), e ( 2) usar essa unicidade para derivar a condição \epsilon \delta da definição de limite de função.

Passo 2

Suponha que existem duas sequências \{x_n\} e \{y_n\} em X\setminus\{a\} com \lim x_n=a e \lim y_n=a. Pelas hipóteses, \bigl(f(x_n)\bigr) e \bigl(f(y_n)\bigr) são convergentes, digamos para L_1 e L_2. Definimos uma sequência intercalada
z_{2n-1}=x_n, \quad z_{2n}=y_n.
Então \lim z_k=a, logo \bigl(f(z_k)\bigr) converge, digamos para L. Mas as subsequências ímpar e par de \bigl(f(z_k)\bigr) são exatamente \bigl(f(x_n)\bigr) e \bigl(f(y_n)\bigr), que então também convergem para L. Concluímos L_1=L e L_2=L. Portanto todo sequência que se aproxima de a obriga f(x_n)\to L para o mesmo L.

Passo 3

Agora definimos L como esse valor comum de todos os limites \lim f(x_n). Para provar \lim_{x\to a}f(x)=L no sentido \epsilon \delta, procedemos por contradição. Se não existisse \delta tal que
0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon,
então existiria algum \varepsilon_0>0 tal que, para cada k\in\mathbb{N}, podemos escolher um ponto x_k\in X\setminus\{a\} com
0<|x_k-a|<\tfrac1k \quad\text{e}\quad |f(x_k)-L|\ge\varepsilon_0.
Por construção \lim x_k=a, mas \bigl(f(x_k)\bigr) não pode convergir a L (pois fica sempre a uma distância >= \varepsilon_0). Isso contraria a hipótese de que toda sequência convergente a a faz f(x_n) convergir. Logo a hipótese contrária é falsa e o critério \epsilon \delta se satisfaz.

Resposta

Pelo passo 2, existe um único valor L tal que toda sequência x_n\to a implica f(x_n)\to L. Pelo passo 3, esse L satisfaz justamente a definição \epsilon \delta de \lim_{x\to a}f(x)=L. Assim, a condição sequencial dada é suficiente para garantir que \displaystyle\lim_{x\to a}f(x) existe.

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