1.) Sejam f: X \rightarrow \mathbb{R}, a \in X^{\prime} e Y=f(X-\{a\}). Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L então L \in \bar{Y}.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f\colon X\to\mathbb{R}, um ponto a que é ponto de acumulação de X (ou seja, a\in X'), e definimos
Y = f\bigl(X\setminus\{a\}\bigr).
Queremos mostrar que, se
\lim_{x\to a}f(x)=L,
então L pertence à aderência de Y, isto é, L\in\overline{Y}.

Passo 2

Relembremos a definição de limite:
Dizemos que \lim_{x\to a}f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
\text{se }x\in X\setminus\{a\}\text{ e }0<|x-a|<\delta, \text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã

Passo 3

Relembremos a definição de aderência:
Um ponto p\in\mathbb{R} está em \overline{Y} se, e somente se, para todo \varepsilon>0, a bola aberta (p-\varepsilon,p+\varepsilon) contém algum ponto de Y. Em outras palavras,
\forall\varepsilon>0\quad Y\cap (p-\varepsilon,p+\varepsilon)\neq\varnothing.

Passo 4

Agora, usando a hipótese de limite, seja arbitrário \varepsilon>0. Pelo limite, existe \delta>0 tal que sempre que x\in X\setminus\{a\} e 0<|x-a|<\delta temos
|f(x)-L|<\varepsilon.
Isso significa que qualquer x\neq a suficientemente próximo de a fornece um valor f(x)\in Y que cai no intervalo (L-\varepsilon,L+\varepsilon). Logo
Y\cap (L-\varepsilon,L+\varepsilon)\neq\varnothing.
Como \varepsilon era arbitrário, concluímos que toda vizinhança de L encontra Y. Portanto L\in\overline{Y}.

Resposta

L\in\overline{Y}.

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