Seja f(x)=x+3x^3+2 x+1.
Mostre que existe r>0 com x>r tal que
0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função . A questão pede pra mostrarmos que existe um número positivo tal que, para todo maior que , a função fica entre 0 e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções quando cresce muito, além de manipular frações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com quando fica muito grande, ou seja, quando tende ao infinito. Isso ajuda a gente a saber como a função se comporta e encontrar o valor de .

Passo 3

Vamos calcular o limite de limx to infty x + 3x^3 + 2x + 1 quando limx to infty f(x) = 0 tende ao infinito:
Aqui, observamos que o grau do polinômio no numerador é 1 e no denominador é 3. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite tende a 0. Então:

Passo 4

Agora, queremos que x + 3x^3 + 2x + 1 < 12 seja menor que para maior que algum . Vamos montar a desigualdade:

Passo 5

Para resolver essa desigualdade, vamos multiplicar ambos os lados por x + 3 < 12 (x^3 + 2x + 1) (que é positivo para 2(x + 3) < x^3 + 2x + 1 , então a desigualdade se mantém):
2x + 6 < x^3 + 2x + 1
Simplificando:
0 < x^3 + 2x + 1 - 2x - 6
0 < x^3 - 5
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Agora, queremos encontrar x^3 > 5 tal que x > raiz[3]5 . Resolvendo:
raiz[3]5 approx 1,710
Calculando a raiz cúbica de 5:

Resposta

Então, existe (aproximadamente 1,710) tal que para todo , temos .

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