Seja
.
Mostre que existe
tal que
Mostre que existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
. A questão pede pra mostrarmos que existe um número positivo
tal que, para todo
maior que
, a função
fica entre 0 e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções quando
cresce muito, além de manipular frações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com
quando
fica muito grande, ou seja, quando
tende ao infinito. Isso ajuda a gente a saber como a função se comporta e encontrar o valor de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Aqui, observamos que o grau do polinômio no numerador é 1 e no denominador é 3. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite tende a 0. Então:
Passo 4
Agora, queremos que
seja menor que
para
maior que algum
. Vamos montar a desigualdade:
Passo 5
Para resolver essa desigualdade, vamos multiplicar ambos os lados por
(que é positivo para
, então a desigualdade se mantém):
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Agora, queremos encontrar
tal que
. Resolvendo:
Calculando a raiz cúbica de 5:
Resposta
Então, existe
(aproximadamente 1,710) tal que para todo
, temos
.