Seja
, calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem de
em relação a
. Vamos usar conceitos de derivadas parciais, regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada parcial de primeira ordem
. Como
, tratamos
como produto de
e
com
. Pela regra do produto e da cadeia:
Simplificando, obtemos
.
Passo 3
Agora derivamos esse resultado em relação a
para obter
. Seja
Derivando termo a termo:
a) Para , pela regra da cadeia:
Derivando termo a termo:
a) Para
b) Para
, note que
é constante, então aplicamos primeiro a regra do produto em
:
Multiplicando por
temos:
Somando (a) e (b), concluímos que