Seja f(x, y)=y cdot cos (x y), calcule 2 f / 2 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem de f(x,y)=ycos(xy) em relação a y. Vamos usar conceitos de derivadas parciais, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial de primeira ordem partial fpartial y. Como f(x,y)=ycos(xy), tratamos f como produto de y e cos(u) com u=xy. Pela regra do produto e da cadeia:
partial fpartial y = partialpartial y[y]cdot cos(xy) + ycdot partialpartial y[cos(xy)] = 1cdot cos(xy) + ycdotl(-sin(xy)r)cdot partialpartial y[xy] = cos(xy) - ysin(xy)cdot x
Simplificando, obtemos
.

Passo 3

Agora derivamos esse resultado em relação a y para obter partial^2 fpartial y^2. Seja
cos(xy)
Derivando termo a termo:
a) Para partialpartial y[cos(xy)] = -sin(xy)cdot x , pela regra da cadeia:
-x y sin(xy)
b) Para x, note que ysin(xy) é constante, então aplicamos primeiro a regra do produto em partialpartial y[ysin(xy)] = 1cdot sin(xy) + ycdot cos(xy)cdot x = sin(xy) + x ycos(xy) :
-x)
Multiplicando por partialpartial y[-x y sin(xy)] = -xl(sin(xy) + x ycos(xy)r) = -xsin(xy) - x^2 ycos(xy) temos:
partial^2 fpartial y^2 = -xsin(xy) - xsin(xy) - x^2 ycos(xy) = -2xsin(xy) - x^2 ycos(xy)
Somando (a) e (b), concluímos que

Resposta

-2xsin(xy) - x^2ycos(xy)

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