Seja
uma função diferenciável e
um vetor unitário que forma um ângulo
com o gradiente
. É bem conhecido que
. Marque a afirmação falsa.
O maior valor atingido por uma derivada direcional no porto
é
.
O maior valor atingido por uma derivada direcional no porto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função diferenciável $ f(x, y) $ e um vetor unitário $ u $ que forma um ângulo $ \theta $ com o gradiente $ \nabla f(x_0, y_0) $. A gente precisa verificar se a afirmação dada é falsa ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente $ \nabla f(x, y) $ aponta na direção de maior aumento da função e seu módulo $ |\nabla f(x, y)| $ representa a taxa de variação máxima.
Passo 3
A derivada direcional de $ f $ na direção do vetor $ u $ é dada por:
Aqui, $ \cos \theta $ mede o quanto a direção de $ u $ está alinhada com o gradiente.
Passo 4
Observando a expressão $ |\nabla f(x_0, y_0)| \cos \theta $, vemos que o valor máximo ocorre quando $ \cos \theta = 1 $, ou seja, quando $ u $ está exatamente na direção do gradiente. Assim, o maior valor da derivada direcional é $ |\nabla f(x_0, y_0)| $.
Passo 5
Agora, analisando a afirmação: “O maior valor atingido por uma derivada direcional no ponto $ (x_0, y_0) $ é $ |\nabla f(x_0, y_0)| $.” Isso está de acordo com o que vimos na etapa anterior, ou seja, é uma afirmação verdadeira.
Resposta
A afirmação apresentada é verdadeira, portanto não é falsa.