Seja
. Mostre que:
Conclua que o campo não é conservativo.
Conclua que o campo não é conservativo.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para mostrar que ele não é conservativo. O conteúdo usado será integral de linha e o fato de que, para um campo conservativo, toda integral em curva fechada é zero.
Passo 2
Observamos que o domínio de
é
, que não é simplesmente conexo. Para testar a conservatividade, escolhemos a curva fechada
que é o círculo unitário centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.
Passo 3
Parametrizamos
por
, com
. A derivada é
.
Passo 4
Em seguida, avaliamos
ao longo de
:
Passo 5
Agora calculamos a integral de linha:
Passo 6
Como para um campo conservativo toda integral em curva fechada deve ser zero e aqui obtivemos
, concluímos que
não é conservativo.
Resposta
O campo não é conservativo porque existe uma curva fechada (o círculo unitário) em que a integral de linha de
vale
, infringindo a condição necessária para um campo conservativo.