(2,0) Seja F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2. Mostre que:
Conclua que o campo não é conservativo.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=-y,i + x,jx^2+y^2 e pede para mostrar que ele não é conservativo. O conteúdo usado será integral de linha e o fato de que, para um campo conservativo, toda integral em curva fechada é zero.

Passo 2

Observamos que o domínio de F é R^2setminus(0,0), que não é simplesmente conexo. Para testar a conservatividade, escolhemos a curva fechada C que é o círculo unitário centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 3

Parametrizamos C por r(t)=(cos t,sin t), com tin[0,2pi]. A derivada é r'(t)=(-sin t,cos t).

Passo 4

Em seguida, avaliamos F ao longo de C:
F(cos t,sin t)=-sin t,i+cos t,jcos^2t+sin^2t=-sin t,i+cos t,j

Passo 5

Agora calculamos a integral de linha:
integralC Fcdot dr = integral0^2pi F(r(t))cdotr'(t),dt =integral0^2pi(-sin t,cos t)cdot(-sin t,cos t),dt =integral0^2pi(sin^2t+cos^2t),dt =integral0^2pi1,dt = 2pi

Passo 6

Como para um campo conservativo toda integral em curva fechada deve ser zero e aqui obtivemos 2pineq0, concluímos que F não é conservativo.

Resposta

O campo não é conservativo porque existe uma curva fechada (o círculo unitário) em que a integral de linha de F vale 2pineq0, infringindo a condição necessária para um campo conservativo.

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