(2,0) Seja F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2. Mostre que:
partial Ppartial y=partial Qpartial x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para o campo vetorial F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j com P(x,y)=-yx^2+y^2 e Q(x,y)=xx^2+y^2, vale partial Ppartial y=partial Qpartial x. Vamos usar derivadas parciais e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro identifiquemos claramente P e Q:
P(x,y)=-yx^2+y^2,
Q(x,y)=xx^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos partial Ppartial y usando a regra do quociente, isto é, para P=uv temos partialyP=(v,partialyu - u,partialyv)/v^2. Aqui u=-y e v=x^2+y^2, então:
partial Ppartial y= (x^2+y^2)(-1) -(-y)(2y)(x^2+y^2)^2 =-x^2 -y^2 +2y^2(x^2+y^2)^2 =y^2 - x^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Em seguida, calculamos partial Qpartial x de modo análogo. Agora u=x e v=x^2+y^2, daí:
partial Qpartial x= (x^2+y^2)(1) - x(2x)(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2 -2x^2(x^2+y^2)^2 =-x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 =y^2 - x^2(x^2+y^2)^2

Passo 5

Comparando os resultados, vemos que
partial Ppartial y=y^2 - x^2(x^2+y^2)^2=partial Qpartial x
Assim a propriedade está demonstrada.

Resposta

As duas derivadas parciais coincidem e valem tfracy^2 - x^2(x^2+y^2)^2, logo partial Ppartial y=partial Qpartial x.

Exercícios relacionados