A temperatura em um ponto é dada por . ) Uma pessoa no ponto deseja caminhar na direção que a temperatura cresce mais rapidamente. Encontre a direção e a expresse como vetor unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que representa a temperatura em um ponto , que é . A pessoa está no ponto e quer caminhar na direção que a temperatura aumenta mais rápido. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção de maior crescimento de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja, vamos calcular e .
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :
Passo 5
O gradiente em 1,1 é, então:
Para encontrar a direção unitária, precisamos normalizar esse vetor. Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Agora, dividimos cada componente do gradiente pelo seu módulo para obter a direção unitária:
çãá
Resposta
A direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente é o vetor unitário .