A temperatura em um ponto (x, y) é dada por T(x, y) = xy / (2 + x^2 + y^2). 1, 0 ) Uma pessoa no ponto 1,1 deseja caminhar na direção que a temperatura cresce mais rapidamente. Encontre a direção e a expresse como vetor unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que representa a temperatura em um ponto (x, y), que é T(x, y) = xy / (2 + x^2 + y^2). A pessoa está no ponto 1,1 e quer caminhar na direção que a temperatura aumenta mais rápido. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção de maior crescimento de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função T(x, y). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y. Ou seja, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a x:
Calculando a derivada parcial em relação a y:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto 1,1:
Para :
Para :

Passo 5

O gradiente em 1,1 é, então:
Para encontrar a direção unitária, precisamos normalizar esse vetor. Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Agora, dividimos cada componente do gradiente pelo seu módulo para obter a direção unitária:
çãá

Resposta

A direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente é o vetor unitário .

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