Sejam e fun\u00c3\u00a7\u00c3\u00b5es reais deriv\u00c3\u00a1veis e suponha que .
(a) Se , mostre que
(b) Se , calcule e .

Passo 1

Temos duas funções reais diferenciáveis φ e ψ, com φ’(1)=4. No item (a) queremos mostrar que a função f(x,y) = (x² + y²) ψ(x/y) satisfaz a identidade x fₓ + y fᵧ = 2 f, usando derivadas parciais e regra da cadeia. No item (b) definimos g(x,y) = φ(x/y) e precisamos calcular gₓ(1,1) e gᵧ(1,1) a partir de φ’(1). Para resolver, vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia em funções compostas.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais de f, escrevemos f(x,y) = h(x,y)·ψ(u) com h(x,y)=x²+y² e u=x/y. Aplicando a regra do produto e da cadeia: hₓ=2x, hᵧ=2y, uₓ=1/y e uᵧ=−x/y², obtemos
fx = 2x,ψl(tfracxyr) + (x^2+y^2),ψ'l(tfracxyr)cdot1y
fy = 2y,ψl(tfracxyr) - (x^2+y^2),ψ'l(tfracxyr)cdotxy^2

Passo 3

Agora multiplicamos cada derivada por x ou y e somamos:
x fx = 2x^2,ψl(tfracxyr) + xx^2+y^2y,ψ'l(tfracxyr)
y fy = 2y^2,ψl(tfracxyr) - xx^2+y^2y,ψ'l(tfracxyr)

Passo 4

Somando, os termos com ψ’ se cancelam e sobra
x fx + y fy = 2(x^2+y^2),ψl(tfracxyr) = 2f(x,y)

Passo 5

Para g(x,y)=φ(x/y), aplicamos a regra da cadeia:
gx = φ'l(tfracxyr)cdot1y, gy = φ'l(tfracxyr)cdotl(-xy^2r)

Passo 6

Em (x,y)=(1,1) temos x/y=1 e φ’(1)=4, daí
gx(1,1)=4cdot1=4, gy(1,1)=4cdot(-1)=-4

Resposta

Para (a) obtemos x fx + y fy = 2f. Para (b), gx(1,1)=4 e gy(1,1)=-4.

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