Sejam
e
fun\u00c3\u00a7\u00c3\u00b5es reais deriv\u00c3\u00a1veis e suponha que
.
(a) Se
, mostre que
(b) Se
, calcule
e
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Temos duas funções reais diferenciáveis φ e ψ, com φ’(1)=4. No item (a) queremos mostrar que a função f(x,y) = (x² + y²) ψ(x/y) satisfaz a identidade x fₓ + y fᵧ = 2 f, usando derivadas parciais e regra da cadeia. No item (b) definimos g(x,y) = φ(x/y) e precisamos calcular gₓ(1,1) e gᵧ(1,1) a partir de φ’(1). Para resolver, vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia em funções compostas.
Passo 2
Para calcular as derivadas parciais de f, escrevemos f(x,y) = h(x,y)·ψ(u) com h(x,y)=x²+y² e u=x/y. Aplicando a regra do produto e da cadeia: hₓ=2x, hᵧ=2y, uₓ=1/y e uᵧ=−x/y², obtemos
Passo 3
Agora multiplicamos cada derivada por x ou y e somamos:
Passo 4
Somando, os termos com ψ’ se cancelam e sobra
Passo 5
Para g(x,y)=φ(x/y), aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Em (x,y)=(1,1) temos x/y=1 e φ’(1)=4, daí
Resposta
Para (a) obtemos
. Para (b),
e
.