Seja f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Verifique se f tem ou nâo plano tangente em (0,0) e (1,1). Em caso afrinativo, encontre o plano tangente ao gráfico de f no ponto correspondente.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} e pede para verificar se existe plano tangente ao seu gráfico nos pontos (0,0) e (1,1). Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a condição de diferenciabilidade no ponto.

Passo 2

Para verificar existência de plano tangente em (0,0), primeiro calculamos a derivada parcial de f em relação a x na origem, definida por
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{|h|-0}{h}.
Esse limite pela direita ( h\to0^+) vale 1 e pela esquerda ( h\to0^-) vale -1, logo não existe o limite.

Passo 3

Como f_x(0,0) não existe, a função não é diferenciável em (0,0) e, portanto, não há plano tangente nesse ponto.

Passo 4

Agora consideramos o ponto (1,1). Para (x,y)\neq(0,0), f é composta por funções diferenciáveis, logo é diferenciável, e suas derivadas parciais são
f_x(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad f_y(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais em (1,1)
f_x(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad f_y(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Como f é diferenciável em (1,1), existe plano tangente dado pela fórmula
z=f(1,1)+f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1).
Sabendo que f(1,1)=\sqrt{2}, obtemos
z=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)+\frac{1}{\sqrt{2}}(y-1).

Resposta

Em (0,0) não existe plano tangente.
Em (1,1) o plano tangente é
z=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)+\frac{1}{\sqrt{2}}(y-1).

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