Seja
. Verifique se
tem ou nâo plano tangente em
e
. Em caso afrinativo, encontre o plano tangente ao gráfico de
no ponto correspondente.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se existe plano tangente ao seu gráfico nos pontos
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a condição de diferenciabilidade no ponto.
Passo 2
Para verificar existência de plano tangente em
, primeiro calculamos a derivada parcial de
em relação a
na origem, definida por
Esse limite pela direita (
) vale
e pela esquerda (
) vale
, logo não existe o limite.
Passo 3
Como
não existe, a função não é diferenciável em
e, portanto, não há plano tangente nesse ponto.
Passo 4
Agora consideramos o ponto
. Para
,
é composta por funções diferenciáveis, logo é diferenciável, e suas derivadas parciais são
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais em
dá
Passo 6
Como
é diferenciável em
, existe plano tangente dado pela fórmula
Sabendo que
, obtemos
Resposta
Em
não existe plano tangente.
Em o plano tangente é
Em