Seja
.
(a) Mostre que
é diferenciável em
.
(b) Determine uma aproximação linear de
em
.
(a) Mostre que
(b) Determine uma aproximação linear de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
(a) Mostrar que é diferenciável em
.
(b) Determinar uma aproximação linear de em
.
(a) Mostrar que
(b) Determinar uma aproximação linear de
Informações relevantes dadas:
a função está definida quando
(o que ocorre em pontos de interesse próximos a
), e o ponto onde vamos analisar é
.
Nenhuma outra informação foi dada no enunciado.
Nenhuma outra informação foi dada no enunciado.
Passo 2
Avaliar
em
. Isso é sempre o primeiro passo para construir uma aproximação linear.
Passo 3
Definir como vamos obter as derivadas parciais (passo didático sobre derivadas parciais e regra da cadeia).
Se tivermos uma função composta com
diferenciável em
e
diferenciável em
, então as derivadas parciais de
são dadas pela regra da cadeia:
Se tivermos uma função composta
Aqui podemos escolher
pois
.
Passo 4
Calcular
e as derivadas de
. Isso é mecânica básica de derivação.
Derivando
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais em
.
Substituindo e
:
Substituindo
Passo 6
Mostrar que as derivadas parciais são contínuas num entorno de
(teorema clássico: se as derivadas parciais existem num vizinho e são contínuas no ponto, então a função é diferenciável ali). Vou explicar e aplicar esse resultado passo a passo.
Explicação do resultado usado: se em alguma vizinhança de
as derivadas parciais
e
existem e são contínuas no ponto
, então existe uma aproximação linear
ou seja,
é diferenciável em
. Isso é um teorema padrão em cálculo de várias variáveis (suficiência da continuidade das derivadas parciais).
Verificação concreta de continuidade: note que perto de
temos
próximo de
. Escolha, por exemplo,
então
. Tomando ainda
garante que
. Assim no retângulo
o denominador
está separado de zero e as expressões
são composições de funções contínuas (seno, raiz, soma) em um conjunto onde tudo é bem definido, logo são contínuas nesse entorno. Em particular são contínuas em
.
Pelo teorema citado, como as derivadas parciais existem num entorno e são contínuas em
, concluímos que
é diferenciável em
.
Passo 7
(Faço também uma verificação alternativa e intuitiva usando expansão em séries para fixar a intuição.) Para ver diretamente o resto ser pequeno, escrevemos para
:
Logo
Usando a expansão de
quando
, com
, obtemos
Subtraindo
(a aproximação linear candidata) fica algo da ordem de
, que dividido por
tende a
quando
(porque
com
, logo
). Isso confirma diretamente que o resto é
e, portanto, que
é diferenciável em
.
Passo 8
Montar a aproximação linear (polinomio afim) em
. A aproximação linear de
em
é
Usando os valores encontrados:
temos
Resposta
(a) Sim,
é diferenciável em
.
(b) A aproximação linear de em
é
.
(b) A aproximação linear de