Seja f(x, y)=\sqrt{y+\cos ^{2} x}.
(a) Mostre que f(x, y) é diferenciável em (0,0).
(b) Determine uma aproximação linear de f(x, y) em (0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{y+\cos^{2}x} e pede duas coisas:
(a) Mostrar que f é diferenciável em (0,0).
(b) Determinar uma aproximação linear de f em (0,0).
Informações relevantes dadas:
f(x,y)=\sqrt{y+\cos^{2}x},
a função está definida quando y+\cos^{2}x\ge 0 (o que ocorre em pontos de interesse próximos a (0,0)), e o ponto onde vamos analisar é (0,0).
Nenhuma outra informação foi dada no enunciado.

Passo 2

Avaliar f em (0,0). Isso é sempre o primeiro passo para construir uma aproximação linear.
f(0,0)=\sqrt{0+\cos^{2}0}=\sqrt{1}=1.

Passo 3

Definir como vamos obter as derivadas parciais (passo didático sobre derivadas parciais e regra da cadeia).
Se tivermos uma função composta f(x,y)=g(h(x,y)) com g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável em h(0,0) e h diferenciável em (0,0), então as derivadas parciais de f são dadas pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial x}(x,y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=g'(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial y}(x,y).
Aqui podemos escolher
g(t)=\sqrt{t}\quad\text{e}\quad h(x,y)=y+\cos^{2}x,
pois f(x,y)=g(h(x,y)).

Passo 4

Calcular g'(t) e as derivadas de h. Isso é mecânica básica de derivação.
g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Derivando h:
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\big(\cos^{2}x\big)=-2\cos x\sin x=-\sin 2x,
\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=1.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{y+\cos^{2}x}}\cdot\big(-\sin 2x\big)= -\frac{\sin 2x}{2\sqrt{y+\cos^{2}x}},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{y+\cos^{2}x}}.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais em (0,0).
Substituindo x=0 e y=0:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=-\frac{\sin 0}{2\sqrt{1}}=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Mostrar que as derivadas parciais são contínuas num entorno de (0,0) (teorema clássico: se as derivadas parciais existem num vizinho e são contínuas no ponto, então a função é diferenciável ali). Vou explicar e aplicar esse resultado passo a passo.
Explicação do resultado usado: se em alguma vizinhança de (0,0) as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y existem e são contínuas no ponto (0,0), então existe uma aproximação linear
f(0+u,0+v)=f(0,0)+f_x(0,0)u+f_y(0,0)v+o(\sqrt{u^{2}+v^{2}}),
ou seja, f é diferenciável em (0,0). Isso é um teorema padrão em cálculo de várias variáveis (suficiência da continuidade das derivadas parciais).
Verificação concreta de continuidade: note que perto de x=0 temos \cos^{2}x próximo de 1. Escolha, por exemplo, |x|\le \pi/4 então \cos^{2}x\ge \cos^{2}(\pi/4)=1/2. Tomando ainda |y|<1/4 garante que y+\cos^{2}x\ge 1/2 - 1/4 = 1/4>0. Assim no retângulo \{(x,y):|x|\le \pi/4,\\ |y|<1/4\} o denominador \sqrt{y+\cos^{2}x} está separado de zero e as expressões
-\frac{\sin 2x}{2\sqrt{y+\cos^{2}x}},\qquad \frac{1}{2\sqrt{y+\cos^{2}x}}
são composições de funções contínuas (seno, raiz, soma) em um conjunto onde tudo é bem definido, logo são contínuas nesse entorno. Em particular são contínuas em (0,0).
Pelo teorema citado, como as derivadas parciais existem num entorno e são contínuas em (0,0), concluímos que f é diferenciável em (0,0).

Passo 7

(Faço também uma verificação alternativa e intuitiva usando expansão em séries para fixar a intuição.) Para ver diretamente o resto ser pequeno, escrevemos para x,y\to 0:
\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}x=1-x^{2}+o(x^{2}).
Logo
y+\cos^{2}x=1+(y-x^{2}+o(x^{2})).
Usando a expansão de \sqrt{1+u}=1+\frac{u}{2}+o(u) quando u\to 0, com u=y-x^{2}+o(x^{2}), obtemos
f(x,y)=1+\frac{y-x^{2}+o(x^{2})}{2}+o\big(y-x^{2}\big).
Subtraindo 1+\frac{1}{2}y (a aproximação linear candidata) fica algo da ordem de -\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}), que dividido por \sqrt{x^{2}+y^{2}} tende a 0 quando (x,y)\to(0,0) (porque x^{2}=O(r^{2}) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, logo x^{2}/r=O(r)\to 0). Isso confirma diretamente que o resto é o(r) e, portanto, que f é diferenciável em (0,0).

Passo 8

Montar a aproximação linear (polinomio afim) em (0,0). A aproximação linear de f em (0,0) é
L(x,y)=f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,y.
Usando os valores encontrados:
f(0,0)=1,\qquad \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\frac{1}{2},
temos
L(x,y)=1+0\cdot x+\frac{1}{2}y=1+\frac{1}{2}y.

Resposta

(a) Sim, f é diferenciável em (0,0).
(b) A aproximação linear de f em (0,0) é L(x,y)=1+\dfrac{1}{2}y.

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